Cтраница 2
Теорема 1.11 ] Если fo, fit X - Y собственно гомотопны, то индуцированные гомоморфизмы fo, / I: He ( Y) - Н % ( X) совпадают. [16]
При помощи отображения включения ( fk: Yk - У мы получаем для каждого т индуцированный гомоморфизм ip k: Hm ( Y) - Ят ( У. [17]
Морфизм многообразий /: V - W называется доминантным, если его образ плотен в W; эквивалентно, можно сказать, что индуцированный гомоморфизм /, описанный выше, инъективен. [18]
Если М и N - проективные Л - модули ранга п, то еА ( р) еА ( А р), где Лл - индуцированный гомоморфизм старших внешних степеней. [19]
Морфизм /: X - Y плоский, если для любых аффинных открытых множеств U С Y, U С X с f ( U) С U индуцированный гомоморфизм f: A ( U) - A ( U) превращает A ( U) в плоский A ( U) - Mo-дуль. Эквивалентно можно сказать, что для любого подмногообразия V С. W f ( V) кольцо 0x v является плоским у-модулем. [20]
Пусть р и р2 - проекции на сомножители, и пусть Wi и Ц, 1 г 2 / i, - элементы F и F2, которые проектируются при индуцированных гомоморфизмах Pj: Ki ( Sg x Sg A, ( 3 / 1 2 / 2)) - 1 ( 8 g, У j), j 1, 2, на Wi и Vi соответственно. Райдемайстера пары отображений ( / i / 2), которые соответствуют существенным классам Нильсена. [21]
Теорема Уайтхеда ( упомянутая в первой главе, но не использовавшаяся в книге) утверждает, что отображение /: X Y односвязных клеточных пространств) является гомотопической эквивалентностью в том и только в том случае, когда индуцированный гомоморфизм f: Я, ( X) - Я, ( Y) является изоморфизмом. [22]
Гомологии В ( га) ( см. [8], [12]): гомоморфизм В ( га) - - S ( п) может быть продолжен вложением S ( п) - - - О ( п); индуцированный гомоморфизм в когомологиях Н ( О ( п)) - у Н ( В ( п)) эпиморфен, т.е. когомологии mod 2 группы В ( п) порождаются классами Штифеля - Уитни. [23]
В этих предположениях можно определить фактор-комплекс К / К Кп / К п, д п, где д п индуцирован гомоморфизмом дп. Индуцированные гомоморфизмы / / ( / С) - - Нп ( К) и Яп ( / С) - Нп ( К / К) не являются, вообще говоря, мономорфизмами и эпиморфизмами соответственно. [24]
Предположим, что ( X, А) и ( У, В) - хаусдор-фовы пары с замкнутыми подмножествами А и В и f: ( X, A) - - - ( Y, В) - собственное отображение, взаимно однозначно отображающее множество Х А на Y B. Тогда индуцированный гомоморфизм /: Hcq ( X, A) - Hcq ( Y, В) является изоморфизмом. [25]
Пусть Vy V - K - билинейное отображение, W, W - его ядра слева и справа соответственно, и пусть V / W конечномерно. Тогда индуцированный гомоморфизм V jWf - ( V [ W) является изоморфизмом. [26]
Пусть Vy V - K - билинейное отображение, W, W - его ядра слева и справа соответственно, и пусть V / W конечномерно. Тогда индуцированный гомоморфизм V jW - ( V / W) является изоморфизмом. [27]
Легко проверить следующие свойства этого индуцированного гомоморфизма. [28]
Таким образом, сопоставление Р - / ( Р) определяет биекцию между всеми теми компактными подмножествами Р пространства X, для которых Р А плотно в Р, и всеми компактными подмножествами Q пространства У, для которых Q B плотно в Q. Кроме того, для каждого такого компактного множества РаХ индуцированный гомоморфизм /: Hq ( P, Pf) / 4) - - - Я ( / ( Р), ДРП / 4)) является изоморфизмом, поскольку отображение ( Р, Р Л Л) - - ( / ( Р), / ( Р ГМ)) - относительный гомео - морфизм компактных пар. Переходя к прямому пределу, получаем, что /: H q ( X, A) - Hcq ( Y, В) - изоморфизм. [29]
При этом любые два эквивариантных вписывания индуцируют смежные эквивариантные симплициальные отображения и индуцированные цепные отображения эквивариантно цепно гомотопны. Как указывалось в § 3, отсюда следует, что построенные выше индуцированные гомоморфизмы гомологических групп не зависят от выбора эквивариантного вписывания. [30]