Cтраница 2
КОЛЬЦЕВАЯ ГРАНИЦА - подмножество Г пространства М д максимальных идеалов коммутативной банаховой алгебры А с единицей над полем С комплексных чисел, на к-ром модули Гелъфанда представлений а всех элементов а. Интерес представляют нетривиальные границы с тем или иным свойством минимальности. Среди замкнутых границ ТаМ д существует минимальная дМд - такая замкнутая граница, что дМ сГ для каждой замкнутой границы Г; она наз. Точки границы Шилова характеризуются тем, что для каждой окрестности УаМд такой точки и каждого е0 существует элемент а. А, для к-рого тах а 1 и я1е вне V. А максимальных идеалов: если В - коммутативное банахово расширение алгебры А, то максимальные идеалы ( мультипликативные функционалы), отвечающие таким точкам, расширяются до максимальных идеалов ( мультипликативных функционалов) алгебры В, тогда как за пределами дМ д такое расширение, вообще говоря, невозможно. Это обстоятельство аналогично устойчивости границы спектра ограниченного линейного оператора банахова пространства. В этом случае Мд отождествляется с замкнутым диском, а дМ д - с его топологич. [16]
Мы покажем - и в этом цель излагаемой ниже теории коммутативных банаховых алгебр - что всякая такая алгебра X допускает реализацию в виде подалгебры алгебры непрерывных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве, образованном ее максимальными идеалами. [17]
Этот результат представляет собой простейший случай теоремы Аренса - Ройдена для коммутативных банаховых алгебр. Теорема Аренса - Ройдена непосредственно связывает группу С / С / х с топологической структурой пространства максимальных идеалов алгебры А. [18]
Как уже отмечалось, класс 9 ( У) ( ЭГ ( F)) является коммутативной банаховой алгеброй. Следующая лемма дает описание множества максимальных идеалов этой алгебры. [19]
Предположение о наличии в банаховом пространстве еще одной алгебраической операции умножения приводит, по крайней мере в случае коммутативных банаховых алгебр, к содержательной спектральной теории. Удовлетворительную спектральную теорию можно строить и в случае, если исследуемое банахово пространство является банаховым модулем над коммутативной банаховой алгеброй. [20]
Если за норму в М ( G) принять полную вариацию меры, то М ( G) становится коммутативной банаховой алгеброй над полем комплексных чисел. G) обладает единицей, к-рой служит б-мера, сосредоточенная в нуле группы. Совокупность дискретных мер, содержащихся в M ( G), образует замкнутую подалгебру. [21]
Пусть А-множество функций вида ( 1) с нормой / Ц 21 ят - Легко убедиться, что А является коммутативной банаховой алгеброй относительно поточечного умножения. R отображение / - f ( x) является комплексным гомоморфизмом алгебры А. [22]
Это условие является основной аксиомой излагаемой ниже общей спектральной теории, главные прототипы которой содержатся в спектральной теории операторов, в теории коммутативных банаховых алгебр и в алгебраической геометрии. В дальнейшем изложении алгебра 91 предполагается спектральной. [23]
Фурье есть всего лишь одно из многих интегральных преобразований, применяемых в анализе; четвертый - что анализ Фурье есть только иллюстрация теории коммутативных банаховых алгебр... Все они будут при этом правы: коммутативный гармонический анализ можно многими способами включать в объемлющие его разнообразные общие теории, но при каждом тайком включении он теряет какую-нибудь из важных своих черт, утрачивает свое подлинное лицо. В этой статье мы постараемся выделить и подчеркнуть то, что характерно для коммутативного гармонического анализа как для самостоятельной дисциплины, ориентируясь прежде всего на классические ее аспекты и стараясь продемонстрировать хотя бы некоторые из ее связей с другими разделами математики. [24]
Утверждение ( а) следующей ниже теоремы составляет один из ключевых фактов всей развиваемой здесь теории. После этого изучение любых коммутативных банаховых алгебр в большой степени удается свести к изучению более привычных ( и более специальных) объектов, а именно алгебр непрерывных комплексных функций на А с поточечными операциями сложения и умножения. [25]
Здесь мы вынуждены сослаться на известные результаты, выходящие за рамки этой книги. Пространство L00 представляет собой пример коммутативной банаховой алгебры с инволюцией. [26]
С ( X) означает равномерную сходимость. Пространство С ( X) является коммутативной банаховой алгеброй с единицей. Если X - бикомпакт, то всякая непрерывная на нем функция /: Х - - С ограничена и, следовательно, пространство С ( Х) совпадает с пространством всех непрерывных на X функций. [27]
Перечисленные результаты будут подробно разъяснены и проанализированы в специальном разделе, посвященном гармоническому анализу на коммутативных локально компактных группах. Существенную роль в доказательствах перечисленных выше теорем играет теория коммутативных банаховых алгебр ( в применении к сверточной алге ( ре Ll ( G) - так называемой групповой алгебре группы G), a также следующая важная теорема. [28]
Исследования операторов, порожденных необратимыми отображениями, оказались за рамками книги, хотя такие операторы также подробно изучались. В класс операторов, порожденных необратимыми отображениями, попадают также эндоморфизмы коммутативных банаховых алгебр, которые являются объектом ряда исследований. [29]
Предположение о наличии в банаховом пространстве еще одной алгебраической операции умножения приводит, по крайней мере в случае коммутативных банаховых алгебр, к содержательной спектральной теории. Удовлетворительную спектральную теорию можно строить и в случае, если исследуемое банахово пространство является банаховым модулем над коммутативной банаховой алгеброй. [30]