Cтраница 3
JF, образует, как легко видеть, идеал в С. Максимальные идеалы в Cf допускают простое описание, являющееся к тому же ключом к пониманию всего замысла теории коммутативных банаховых алгебр. [31]
Если S - компакт, то C ( S), снабженная стандартной нормой, является банаховой алгеброй. Алгебры непрерывных функций на компактах важны не только потому, что они возникают в анализе, но и благодаря их особой роли в общей теории коммутативных банаховых алгебр. [32]
О функциональных операторах в произвольных пространствах известно довольно мало. Вероятно, первым результатом, относящимся к функциональным операторам не в конкретных пространствах, а имеющим общий характер, является следующая теорема Камовица - Шайнберга об автоморфизмах полупростой коммутативной банаховой алгебры. [33]
Я есть идеал / Я, вследствие открытости множества обратимых элементов. Поэтому факторалгебра Е 1 / М для максимального идеала М является банаховым полем над С. Этим доказывается теорема Гелъфанда - Мазура о спектральности комплексных коммутативных банаховых алгебр. [34]
Операции умножения ( и сложения) определяются поточечно. Очевидно, что мы действительно имеем дело с коммутативной банаховой алгеброй. [35]
Одним из мощных приемов в математике является представление абстрактных математич. Если рассмотреть умножение функций того же класса на борелевские функции, то получают представление коммутативного нормального кольца операторов в гильбертовом пространстве. Более общий пример представления доставляет нам одна из главных теорем теории коммутативных банаховых алгебр. [36]
Все содержание этого тома делится на две части. XV-XVIII) посвящена общей теории спектральных операторов. Изложение ведется на основе коммутативных банаховых алгебр. Другой важный результат этой части - нахождение условий на резольвенту оператора, которые обеспечивают его спектральность. XIX - XX) посвящена изучению некоторых конкретных, примеров спектральных операторов и построению волновых операторов в том случае, когда невозмущенный оператор является спектральным. [37]
АЛГЕБРА ФУНКЦИИ - полупростая коммутативная банахова алгебра А, реализованная в виде алгебры непрерывных функций на пространстве максимальных идеалов. Использование интегральной формулы Коши позволяет существенно усилить этот результат: если функция / регулярна в нек-рой окрестности спектра элемента а, то / () А, и отображение / - У / ( а) является гомоморфизмом А. Это утверждение остается справедливым и для неполупростых коммутативных банаховых алгебр. Кроме того, класс функций, аналитических в окрестности спектра данного элемента, может оказаться не расширяемым: напр. [38]
Очень просто показать, что утверждения ( а) и ( Ь) эквивалентны ( см. упр. Однако то, что из ( Ь) следует ( с) и, следовательно, все три условия эквивалентны, доказывается далеко не тривиально. Доказательство опирается на спектральную теорию непрерывных нормальных эндоморфизмов. Имеется также весьма элегантный подход к этому доказательству, использующий общую теорию коммутативных банаховых алгебр с инволюцией, см. Люмис [ 1, гл. [39]
Предположим, что К - компактное хаусдорфово пространство, и обозначим через С ( К) векторное пространство всех вещественных функций на К. Ясно, что относительно поточечной полуупорядоченности С ( К) является векторной структурой. Более того, наделенное sup - нормой, С ( К) становится банаховой структурой. Очевидно, функция 1, тождественно равная единице, является порядковой единицей в С ( К), а оо равна 1-норме i. Для банаховых структур, которые являются пространствами с порядковой единицей, имеется теорема о представлении, аналогичная гельфандов-скому представлению для коммутативных банаховых алгебр. [40]