Градиент - скалярное поле
Cтраница 3
Этого не было видно из определения градиента ( 2), данного в неинвариантной форме, привязанной к какой-то одной системе координат. Итак, градиент скалярного поля образует вполне определенное векторное поле. [31]
Действие вычисления градиента скалярного поля, а также действия вычисления дивергенции или ротора векторного поля называются дифференциальными операциями первого порядка. [32]
 |
Понятие вектор-функции становится. [33] |
При смещении по нормали к поверхности ( линии) уровня скалярного поля в точке М наблюдается максимальное изменение в этой точке функции р, задающей поле. Это изменение характеризуется с помощью градиента скалярного поля. Градиент - вектор, направленный по нормали к поверхности ( линии) уровня в точке М в сторону возрастания р в этой точке. Величина градиента равна производной ф в указанном направлении. [34]
Как связана производная по направлению 1 с градиентом скалярного поля в данной точке. [35]
Следовательно, проекция градиента на касательную к линии уровня в точке Р равна нулю. Отсюда вытекает, что в любой точке поля градиент направлен по нормали к линии уровня, проходящей через эту точку. Совершенно аналогично обстоит дело с градиентом скалярного поля в трехмерном пространстве. Функцию точки f ( x, у, z) изображают с помощью семейства ее поверхностей уровня f ( x, у, z) c, и тогда в любой точке Р поля проекция градиента на любую касательную прямую к поверхности уровня в точке Р равна нулю. Прямая, перпендикулярная касательной плоскости к поверхности и проходящая через их точку касания, называется нормалью к поверхности. Следовательно, в любой точке поля градиент функции f ( x, у, z) направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку. Стрелка градиента направлена в ту сторону нормали, в которую возрастают пометки с поверхностей уровня в изображении поля. Если в какой-либо точке скалярного поля соответствующая поверхность уровня не имеет касательной плоскости, то в этой точке не существует и градиента. [36]
В составе примитива квадратичная поверхность может присутствовать самостоятельно ( эллипсоид) или в комбинации с плоскостями и другими квадратичными поверхностями. Функции второго порядка являются знакоразделимыми, т.е. их значения в точках, лежащих по разные стороны от поверхности, имеют разные знаки. Это утверждение следует из того, что градиент скалярного поля существует в любой точке поверхности и не равен нулю. [37]
В настоящее время резко сокращено количество часов, отводимых учебными программами технических вузов на изучение курсов физики и высшей математики. Кроме того, программы курсов физики и высшей математики не согласованы между собой. В курсе физики приходится пользоваться скалярным и векторным произведениями, дифференцированием и интегрированием, вводить понятие потока и циркуляции векторовхвекторного поля, градиента скалярного поля задолго до того, как эти понятия изучаются в математике. В итоге к тому времени, когда названные темы проходят в курсе высшей математики, студенты забывают, где и как использовали эти математические понятия при решении физических задач, тем более, что при изучении физики они не имели возможности разобраться в них основательно. [38]
Векторное поле - область пространства, каждая точка которого характеризуется некоторым значением вектора. Если поле зависит от времени, то A ( rr t) A. Примерами векторных полей являются магнитное, электрическое и гравитационное. Поле градиента скалярного поля также является векторным. [39]
Страницы: 1 2 3