Cтраница 2
Более общо, пусть L - произвольная разрешимая алгебра Ли, ср: L - - 01 ( У) - ее конечномерное представление. Например, если ср-присоединенное представление, то флаг подпространств, инвариантных относительно L, - это цепочка идеалов в L, каждый из которых имеет коразмерность один в следующем. [16]
Любая подалгебра и любой гомоморфный образ разрешимой алгебры Ли разрешимы. Если 8 содержит разре-шимый идеал 23, такой, что факторалгебра 8 / 23 разрешима, то и сама алгебра 8 разрешима. [17]
Во второй части показывается, что всякая разрешимая алгебра 91 содержится в некоторой расщепляемой алгебре. Минимальная расщепляемая алгебра, содержащая 9t, определяется однозначно и называется расщеплением SR. Свойства разрешимых алгебр оказываются весьма тесно связанными со свойствами их расщеплений. [18]
Ли в существенных чертах сводится к изучению разрешимых алгебр. Основная его цель состоит в том, чтобы изучение разрешимых алгебр свести к изучению нильпотент-ных. Для этого сначала вводится особый класс расщепляемых алгебр и показывается, что каждая расщепляемая алгебра представляется в виде RA K, где К-максимальный нильпотентный идеал в R, a A-максимальная коммутативная подалгебра, все элементы которой имеют простые элементарные делители. Представление RA K однозначно с точностью до внутренних автоморфизмов. К называется ядром алгебры R. Теперь, чтобы получить все расщепляемые алгебры с заданным ядром К, достаточно для R взять алгебру дифференцирований, выбрать в ней максимальную коммутативную подалгебру А, образованную элементами с простыми элементарными делителями, и составить полупрямую сумму А-ЬК. Подалгебры вида А1 К, А1С2А с точностью до изоморфизма исчерпывают все расщепляемые разрешимые алгебры с ядром К. [19]
Ли: пусть ф - линейное представление конечномерной разрешимой алгебры Ли Ь в векторном пространстве V над алгебраически замкнутым полем характеристики 0; тогда в V существует такой базис, в к-ром все операторы X из ф ( Ь) записываются верхнетреугольными матрицами. [20]
Однако вещественные поляризации всегда существуют для нильпо-тентных и вполне разрешимых алгебр Ли, а комплексные поляризации всегда существуют для разрешимых алгебр Ли. [21]
При п 3 условие теоремы может не выполняться лишь для разрешимых алгебр. [22]
Эта теорема позволяет свести изучение произвольных алгебр Ли к изучению полупростых и разрешимых алгебр. [23]
Если система дифференциальных уравнений (3.1) допускает ( п - 1) - мерную разрешимую алгебру полей симметрии, TQ она интегрируется в квадратурах. [24]
Однако уже в теории Картана - Киллинга выяснилась важная роль одного специального типа разрешимых алгебр, именно алгебр ранга нуль, или, по другой терминологии, нильпотентных алгебр. С известной точки зрения общий случай разрешимых алгебр занимает промежуточное положение между полупростыми алгебрами, где конфигурация так называемых корней алгебры целиком определяет алгебру, и нильпотентными алгебрами, где все корни равны нулю и ничего не определяют. У разрешимых не нильпотентных алгебр имеются ненулевые корни, однако знания их конфигурации, вообще говоря, недостаточно для определения алгебры. [25]
Согласно задаче 1.26, ( п, п) 0, так что п - разрешимая алгебра Ли. [26]
С другой стороны, в теории лиевых алгебр известно, что 9 ( G) - разрешимая алгебра. [27]
То же самое верно, если L - нильпотентная алгебра [193], в то время как для разрешимых алгебр Ли это свойство, вообще говоря, нарушается. [28]
Отметим еще, что из рассуждений, приведенных в нашей заметке [3], следует, что все подалгебры разрешимой алгебры минимально замкнуты и соответствующие им подгруппы в универсальной накрывающей односвязны. [29]
К подалгебрам, принадлежащим как алгебре (43.19), так и алгебре (43.20), нужно применить внутренние автоморфизмы обеих максимальных разрешимых алгебр. [30]