Cтраница 4
Эта теорема позволяет свести изучение произвольных алгебр Ли к изучению полупростых и разрешимых алгебр. Разрешимые алгебры Ли, хотя и имеют, как кажется, более простую структуру, до сих пор не поддаются классификации. [46]
Во второй части показывается, что всякая разрешимая алгебра 91 содержится в некоторой расщепляемой алгебре. Минимальная расщепляемая алгебра, содержащая 9t, определяется однозначно и называется расщеплением SR. Свойства разрешимых алгебр оказываются весьма тесно связанными со свойствами их расщеплений. [47]
Для этого, разумеется, достаточно показать, что все максимальные торические подалгебры в L сопряжены относительно Aut L. Это будет сделано в § 16, причем в более общем случае произвольной алгебры Ли L, когда аналогом торической становится картановская подалгебра. Этот более широкий контекст на самом деле упрощает доказательство, позволяя использовать специфические свойства разрешимых алгебр Ли. В настоящем параграфе мы подготовим необходимый аппарат; здесь поле F может иметь произвольную характеристику, если не оговорено противное. [48]
В теории алгебр Ли центральное место в настоящее время занимают алгебры над полем комплексных чисел. Наиболее изученными из них являются полупростые алгебры, полная классификация которых дается известной теорией Картана - Киллинга. Таким образом, общая задача классификации алгебр Ли над полем комплексных чисел приводится к исследованию разрешимых алгебр. [49]
В § 27 главы IV мы перечислили все возможные матричные алгебры матриц типа (40.6), диагональные элементы которых были равны нулю. Матричные алгебры, содержащие такую матрицу, можно получить из матричных алгебр § 27 главы IV либо прибавлением единичной матрицы Е4 к одному из элементов матричных алгебр § 27 главы IV, либо прибавлением Е4 к этим алгебрам как нового элемента. Так как матрица С5 имеет отличный от нуля след, а след лиевского произведения матриц равен нулю, то первый способ построения матричных алгебр типа (40.6) возможен лишь для разрешимых алгебр. [50]