Cтраница 3
Однако вещественные поляризации всегда существуют для нильпо-тентных и вполне разрешимых алгебр Ли, а комплексные поляризации всегда существуют для разрешимых алгебр Ли. [31]
Возвращаясь снова к алгебрам над полем комплексных чисел, докажем, сначала некоторое усиление теоремы 4, а затем рассмотрим один пример на классификацию разрешимых алгебр с данным ядром. [32]
Мак Коннел [248] изучал, гриводит ли конструкция Голди в 3TOiM случае к классическому кольцу частных, В частности он показал, что это имеет место, если А-универ сальная обертывающая конечномерной разрешимой алгебры над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. [33]
А), то алгебра А также нильпотентна. Для представлений разрешимых алгебр Мальцева над полем характеристики 0 справедлив аналог теоремы Ли о триангулируемости. [34]
L ( k) - 0 для некоторого k, то L ( k - l) - абелев идеал в L. Таким образом, разрешимая алгебра всегда содержит нетривиальный абелев идеал. Наибольший разрешимый идеал в алгебре Ли L называется радикалом алгебры Ли L. Можно доказать, что L полупроста тогда и только тогда, когда ее радикал равен нулю. [35]
Ли, вообще говоря, не замкнуто относительно операций сложения и коммутирования ( напр. Однако в случае разрешимой алгебры А это множество является даже характеристим. [36]
Задача разделяется на две части. Сначала изучается специальный класс разрешимых алгебр - так называемые расщепляемые алгебры. Все такие алгебры допускают разложение в полупрямую сумму своего максимального нильпотентного идеала - ядра алгебры и некоторой особой коммутативной подалгебры. Свойства расщепляемой алгебры легко усматриваются из свойств такого разложения, и основным инвариантом, определяющим разрешимую расщепляемую алгебру, является ее ядро. [37]
Теорема 3 о разложимости расщепляемых разрешимых алгебр в полупрямую сумму и теорема 4 в основном достаточны, чтобы установить общий обзор расщепляемых алгебр с заданным ядром и тем самым привести задачу об их классификации к задаче о классификации нильпотентных алгебр. Теоремы 5, 6 дают необходимые для этого дополнительные свойства семирегулирпых подалгебр. [38]
Алгебра Ли g называется разрешимой, если существует такое / п, что gm) Q. Всякая подалгебра и всякая факторалгебра разрешимой алгебры Ли разрешимы. Обратно, если идеал ncig и факторалгебра g / n разрешимы, то и алгебра g разрешима. [39]
Однако уже в теории Картана - Киллинга выяснилась важная роль одного специального типа разрешимых алгебр, именно алгебр ранга нуль, или, по другой терминологии, нильпотентных алгебр. С известной точки зрения общий случай разрешимых алгебр занимает промежуточное положение между полупростыми алгебрами, где конфигурация так называемых корней алгебры целиком определяет алгебру, и нильпотентными алгебрами, где все корни равны нулю и ничего не определяют. У разрешимых не нильпотентных алгебр имеются ненулевые корни, однако знания их конфигурации, вообще говоря, недостаточно для определения алгебры. [40]
Данная книга является одним из лучших пособий для изучения теории алгебр Ли. В ней подробно излагаются основы теории: разрешимые алгебры, нильпотентные алгебры, теоремы Ли и Энгеля, теория полупростых алгебр Ли, системы корней. Обсуждаются классические результаты о построении полупростой алгебры Ли по ее системе корней. Отдельные главы посвящены теории представлений и теории групп и алгебр Шевалле. [41]
Ли в существенных чертах сводится к изучению разрешимых алгебр. Основная его цель состоит в том, чтобы изучение разрешимых алгебр свести к изучению нильпотент-ных. Для этого сначала вводится особый класс расщепляемых алгебр и показывается, что каждая расщепляемая алгебра представляется в виде RA K, где К-максимальный нильпотентный идеал в R, a A-максимальная коммутативная подалгебра, все элементы которой имеют простые элементарные делители. Представление RA K однозначно с точностью до внутренних автоморфизмов. К называется ядром алгебры R. Теперь, чтобы получить все расщепляемые алгебры с заданным ядром К, достаточно для R взять алгебру дифференцирований, выбрать в ней максимальную коммутативную подалгебру А, образованную элементами с простыми элементарными делителями, и составить полупрямую сумму А-ЬК. Подалгебры вида А1 К, А1С2А с точностью до изоморфизма исчерпывают все расщепляемые разрешимые алгебры с ядром К. [42]
Если алгебра Ли связной группы Ли G треугольна ( над R), то G наз. Для треугольных групп Ли справедлив аналог Ли теоремы о разрешимых алгебрах. Связная треугольная группа Ли изоморфна подгруппе в Т ( п, R) и является экспоненциальной группой, если она односвязна. [43]
Так как [ ш, га ] га, то га не может быть разрешимой алгеброй. Так как m - идеал в д, то имеется дополнительный идеал У. Из dim)) dim и того факта, что представления группы на и m не эквивалентны, следует, что - инвариантное подпространство I) должно совпадать с Ij. [44]
В настоящей работе разрешимые алгебры подвергнуты более детальному изучению. Помимо нахождения общих свойств основная цель работы сводится к выяснению того, насколько вопросы, касающиеся структуры разрешимых алгебр, можно свести к аналогичным вопросам относительно нильпотентных алгебр. [45]