Cтраница 2
Техника же описания идеалов в терминах их нулей ( или дивизоров) разработала довольно хорошо Основным ее элементом служат оценки снизу функций из идеала на подходящей системе контуров, приближающихся к границе области определения. Наличие этих оценок, грубо говоря, позволяет создавать некоторый процесс разложения функции на множители ( факторизацию), подобный каноническим произведениям Вейерштрасса, и тем самым доказывать, что принадлежность функции идеалу определяется только кратностью ее Нулей. [16]
Такие ситуации могут возникать даже при изучении, например: 1) задачи Дирихле для эллиптических систем, 2) задачи с наклонной призводной для эллиптических уравнений, в частности для уравнения Лапласа, когда направление наклона, по которому берется производная, может выйти в касательную к границе области определения решения, 3) характеристической задачи для гиперболических систем, 4) разных задач для уравнений, тип или порядок которых меняются в области их задания или на границе этой области. [17]
Число мысленных опытов зависит от задачи. Ограничением сверху служит граница области определения хотя бы по одному из факторов. [18]
Модой величины га называется то ее значение га, при котором плотность вероятности / ( т) максимальна. В частных случаях мода может совпадать с границей области определения. [19]
Поэтому при решении системы уравнений ( III, 19) определяется минимум функции цели. Своего наибольшего значения функция цели достигает на границах области определения. [20]
Предполагается, что непрерывная функция имеет минимум внутри или на границе области определения. Если функция линейна, то она имеет минимум на границе области определения. Для линейных функций наиболее эффективным методом отыскания минимума является линейное программирование ( см. гл. [21]
Целевой функционал каждого этапа при решении задачи с конца должен быть либо неограниченным сверху на всем пространстве, либо достигать безусловного максимума в точке, не принадлежащей множеству, высекаемому ограничениями этапа. При этом, очевидно, гарантируется достижение условного экстремума на границе области определения задачи соответствующего этапа. [22]
Отсюда, в частности, следует, что элементарная функция непрерывна на любом интервале ( отрезке), включенном в ее область определения. Во-вторых, элементарную функцию следует исследовать на непрерывность только на границах области определения. [23]
Приступая к рассмотрению многомерных задач математической физики, с самого начала следует отметить, что проблема аппроксимации таких задач представляет собой задачу нетривиальную. Если граница области определения решения гладкая и достаточную гладкость имеют функции, заданные на границах, то второй порядок аппроксимации уравнения и граничных условий при наличии устойчивости будет гарантировать второй порядок точности решения. Если, однако, либо граница области, либо функции, заданные на границах, оказываются негладкими, то в решении задачи в окрестности особых точек возникают весьма существенные погрешности. Тогда, как хорошо известно, в окрестности угловых точек в задачах с эллиптическими операторами обычно возникают особенности либо логарифмического, либо дробного характера. Поэтому равномерная сетка и второй порядок аппроксимации задачи по обеим переменным внутри области еще не обеспечивает решения задачи со вторым порядком точности. В таких случаях используют либо метод сгущения сеток в окрестности особенностей решений, либо метод предварительного выделения особенностей с последующим численным решением регулярной задачи, уже обеспечивающим второй порядок точности. Заметим, однако, что при определенной согласованности граничных условий и правой части уравнения в особых точках границы решение может оказаться гладким, и в этом случае дополнительных проблем аппроксимации уже не возникнет. [24]
Число мысленных опытов зависит от задачи. Ограничением сверху служит граница области определения хотя бы по одному из факторов. [25]
Фактор, для которого произведение ЬДХ максимально, принижают за базовый, для него выбирают шаг движения по градиенту, оставляя старый или вводя более мелкий. Шаг Xi может быть как больше, так л меньше нуля. Если при восхождении достигается граница области определения одного из факторов, то следует зафиксировать значение этого фактора и дальше двигаться по остальным. Крутое восхождение эффективно; если хотя бы одни результат лучше наилучшего в серии. [26]
Значит, часть плоскости, лежащую под указанным интервалом, можно заштриховать ( рис. 215) - там графика нет. Эта часть исследования позволяет указать области, где может лежать график функции. После этого нужно изучить поведение функции на границах области определения, установить характер точек разрыва ( если 215 они есть), найти асимптоты. Наконец, следует найти промежутки возрастания и убывания функции и исследовать ее на экстремум. [27]
Значит, часть плоскости, лежащую под указанным интервалом, можно заштриховать ( рис. 215) - там графика нет. Эта часть исследования позволяет указать области, где может лежать график функции. После этого нужно изучить поведение функции на границах области определения, установить характер точек разрыва ( если они есть), найти асимптоты. Наконец, следует найти промежутки возрастания и убывания функции и исследовать ее на экстремум. [28]
Точка же, в которой производные по каждой из независимых переменных обращаются в нуль, может быть абсолютным максимумом, локальным максимумом, абсолютным минимумом, локальным минимумом или же седловиной. Если функция имеет непрерывные вторые производные по каждой из независимых переменных и первые производные в некоторой точке обращаются в нуль, а матрица, состоящая из элементов atj dzf / dxidx; является положительно определенной в этой же точке, то данная точка является минимумом. Первые производные от / могут не обращаться в нуль, если точка минимума находится на границе области определения. [29]
Иногда в области изменения переменных исследуемая система или явление описывается не одним дифференциальным уравнением, а несколькими, каждое из которых отражает поведение системы лишь в некоторой части области. В этих случаях говорят, что исследуемая система имеет переменную структуру. Воспроизведение решений таких задач на АВМ требует выполнения логических операций, связанных с организацией режима программного переключения, смысл которого в том, что машина по достижении границы области определения одного дифференциального уравнения должна автоматически переключаться на воспроизведение решения другого дифференциального уравнения. [30]