Cтраница 3
Fi - E для каждого индекса L Так как отображение fi Fi - F непрерывно и график отображения v ( секвенциально) замкнут, то таким же будет и график отображения Vofit Таким образом, достаточно ограничиться случаем, когда само, пространство F полно и полуметризуемо. [31]
Так как по предположению график отображения и секвенциально замкнут в произведении ExF, то, как легко проверить, график отображения v секвенциально замкнут в произведении FxE. Следовательно, по теореме 6.7.1 отображение v: F - E непрерывно. Но это означает, что отображение и пространства Е на пространство F открыто, что и требовалось доказать. [32]
Для дифференциального уравнения х - v ( x ] область определения правой части называется фазовым пространством, точка х называется фазовой точкой, вектор v ( x) называется вектором фазовой скорости, v называется векторным полем фазовой скорости. Если х - p ( t - решение уравнения, то образ отображения ( р называется фазовой кривой, а график отображения р - интегральной кривой. [33]
Fi - E для каждого индекса L Так как отображение fi Fi - F непрерывно и график отображения v ( секвенциально) замкнут, то таким же будет и график отображения Vofit Таким образом, достаточно ограничиться случаем, когда само, пространство F полно и полуметризуемо. [34]
Пусть X - банахово пространство и и: Е - - X - линейное отображение, график которого секвенциально замкнут. Для доказательства непрерывности отображения и ( необходимо и) достаточно показать непрерывность каждого из отображений Uof Ei - X. Так как каждое из отображений fi Ei - E непрерывно, то график отображения Uofi секвенциально замкнут. Непрерывность Uofi следует из того, что каждое из пространств Е обладает свойством секвенциально замкнутого графика. [35]
Множество FQ u ( E) есть векторное подпространство в F. Отображение v непрерывна и почти открыто. Кроме того, график отображения v замкнут, ибо пространства FQ и Е отделимы и v непрерывно. [36]
Построение графиков отображений нечисловых множеств А, В несколько отличается от построения графиков числовых функций, с которым читатель хорошо знаком. Проводят два взаимно перпендикулярных луча, которые выходят из одной точки, - оси координат. На горизонтальном луче произвольным способом ( например, через одинаковые промежутки) отмечают точки, которые отвечают элементам множества А, а на вертикальном - точки, которые отвечают элементам множества В. Через эти точки проводят соответственно вертикальные и горизонтальные прямые, которые образу ют прямоугольную сетку. Чтобы построить график отображения ф: А - J5, нужно поставить точки в тех вершинах сетки, координатами которых являются всевозможные пары вида ( д, ( а) ф), где а - произвольный элемент множества А. [37]