Cтраница 2
Такая точка зрения позволяет включить в рассмотрение не только группы поворотов и отражений, о которых идет здесь речь, но и другие типы преобразований, оставляющих неизменным уравнение Шредишера. Излагаемые ниже общие свойства групп относятся и к группам перестановок; более подробным изучением этого вида групп мы не станем заниматься. [16]
В уравнении (3.19) тензор Umi инвариантен по отношению к группе ортогональных поворотов. Это обстоятельство наводит на мысль, что если аналогично (3.19) разложить градиент деформации, то из него можно выделить некоторую вполне определенную величину, с помощью которой можно осуществить однозначную параметризацию состояния деформации рассматриваемого тела. Необходимо отметить, что градиенты деформации не являются тензорными величинами, поскольку их тензорные индексы k и К связаны с двумя различными координатными системами. [17]
Представление D ( gO является в то же время представлением группы Z поворотов вокруг оси OZ. Так как все неприводимые представления группы Z одномерны, то представление D, рассматриваемое как представление группы Z, разбивается на s одномерных представлений. Соответствующие этим представлениям одномерные подпространства можно охарактеризовать, выбрав в каждом из них по вектору. [18]
Второе соображение из теории групп - очевидная инвариантность законов движения жидкости относительно группы поворотов в - - б а, когда q, U, V, 9 остаются фиксированными. Из этого следует, что в формулах ( 57а) и ( 576) величина б должна входить только в дифференциальные операторы и не входить в коэффициенты. [19]
В то время как группа Si не выделяется канонически в &, семейство групп лоренцевых поворотов вокруг всевозможных различных начал отсчета в пространстве IMI выделяется. [20]
Она изоморфна группе матриц вида ( 4), которая поэтому также называется группой поворотов или вращений. [21]
Taog - равный и гбрсс - основание, грань) - выпуклый многогранник, группа поворотов которого вокруг центра тяжести переводит любую его грань в любую другую грань. [22]
Что касается изменений в физической части, то в главе IV яснее представлена роль группы виртуальных поворотов пространства. Но главное - добавлены несколько параграфов, которые имеют дело с теоремой об энергии - импульсе в квантовой физике и с квантованием волнового уравнения по недавней работе Гейзенберга и Паули. Это расширение уже так далеко уводит от главной цели этой книги, что я был вынужден опустить согласующуюся с требованиями теории относительности формулировку квантовых законов, развитую В. Фоком и мной, несмотря на то, что она нужна при выводе тензора энергии - импульса. Фундаментальная проблема протона и электрона обсуждается в связи со свойствами симметрии квантовых законов относительно замены правого - левым, прошлого - будущим и положительного электричества - отрицательным. В настоящее время в поле зрения нет никакого подходящего решения этой проблемы; я боюсь, что облака, нависшие над этой частью предмета, соберутся в новый кризис квантовой физики. [23]
Грассман в своем полном учении о протяжении и Гамильтон в своем исчислении кватернионов кладут в основу своих исследований группу поворотов. При этом Гамильтон поступает совершенно наивным образом: он не знает того, что выбор ортогональной группы допускает известный произвол. Наряду с этим могут возникнуть, как уже было объяснено, новые различия в связи с тем, что мы один раз допускаем, а в другой отбрасываем как нечто излишнее зеркальное отражение ( относительно начала) всех координатных осей. [24]
Замечания, а) Скалярный поворот Тт ( называемый скалярным, поскольку он коммутирует со всеми остальными поворотами) играет особую роль в группе поворотов. Если вспомнить, как были введены повороты ( они связывали вращения с произведением двух отражений), то становится ясным, что поворот Тт требует двух отражений относительно одной и той же плоскости. Эта операция должна по определению быть тождественным преобразованием. Геометрия поворотов, которая отличает Тт от тождественного поворота Т0, отлична от геометрии модели, из которой мы исходили ] Эта счастливая случайность не так уж необычна в физике. Фейнман [10] подчеркивал, что именно по этой причине так важно развивать все возможные взгляды на предмет, поскольку в - процессе обобщения, или абстрагирования, одной модели может быть отдано предпочтение перед другой. [25]
С каждым из них можно ассоциировать некоторое семейство отображений ( для типа А это группа сдвигов вдоль оси х, для типа Б - группа поворотов вокруг оси г), при которых сохраняется поверхность ( и, следовательно, индуцированная метрика) и потенциал. [26]
Параллельно выяснилось, что и старая добрая эйнштейновская теория гравитации - общая теория относительности ( ОТО) - тоже представляет собой неабелеву калибровочную теорию поля с особым типом калибровочной группы - - группой лоренцевых поворотов в касательных плоских пространствах. [27]
Простейший тип симметрии содержит всего одну ось симметрии n - го порядка. Группа Сп есть группа поворотов вокруг оси n - го порядка. Каждый из ее п элементов составляет сам по себе класс. [28]
Простейший тип симметрии содержит всего одну ось симметрии я-го порядка. Группа Сп есть группа поворотов вокруг оси / г-го порядка. Каждый из ее п элементов составляет сам по себе класс. Группа Cj содержит только тождественное преобразование Е и соответствует отсутствию какой бы то ни было симметрии. [29]
Заметим, что два поворота пространства, одинаковым образом перемещающие все его точки, считаются тождественными. Роль единицы в группе поворотов играет поворот на угол, равный нулю. Взаимно-обратными являются два поворота в противоположных направлениях на один и тот же угол. [30]