Cтраница 2
Доказать, что поля тяготения, допускающие максимальные транзитивные группы ( 75, могут допускать только тривиальные группы конформных преобразований. [16]
Результаты, полученные в предыдущих параграфах этой главы, относятся к определению групп Ли Gr, которые могут быть группами конформных преобразований некоторого поля тяготения. Для получения полной классификации полей тяготения по группам конформных преобразований для каждого класса полей тяготения с метрикой ds2 erjds2t где метрика ds2 допускает группу Gr в качестве группы движений или гомотетий или группы конформных преобразований О15 ( если ds2 - метрика конформно-плоского поля тяготения), необходимо указать все возможные виды функции а, определяющие, когда и какая подгруппа группы Gr будет группой движений. Для этого для каждой группы конформных преобразований Gr нужно сделать перечисление всевозможных подгрупп Gm ( т г) и затем определять, при каких а данная подгруппа будет группой движений. Qt где фя - скаляры, соответствующие векторам в обобщенных уравнениях Киллинга. [17]
Для нашей задачи достаточно знание алгебр матриц ( 27.1 1) до второго порядка включительно, но полная классификация алгебр матриц (27.11) понадобится в дальнейшем при рассмотрении групп конформных преобразований, и поэтому мы сразу дадим полную классификацию. [18]
Полное решение задачи о классификации полей тяготения по группам конформных преобразований получено Р. Ф. Биляловым [593], [594], [595], [596], основной результат которого состоит в следующем: группа конформных преобразований, действующих в неконформно-плоском поле тяготения, является группой движений или гомотетий пространства, конформного данному. [19]
Группы конформных преобразований, которые не могут быть рассматриваемы как группы движений какого-либо пространства, мы будем называть нетривиальными. Так, нетривиальные группы конформных преобразований в полях тяготения, как это следует из теоремы 2 и следствия, могут существовать только среди конформных групп преобразований, действующих на изотропных поверхностях транзитивности или транзитивных. [20]
Интересный результат получен в работе [260], где доказывается, что во всякой гомотетической точке ( так называется точка, в которой группа линейных преобразований векторов касательного пространства, индуцированная группой изотропии в этой точке, не содержится в ортогональной группе) тензор конформной кривизны равен нулю. Если многообразие обладает гомотетической точкой и группа конформных преобразований транзитивна, то это многообразие является конформно - плоским. [21]
Результаты, полученные в предыдущих параграфах этой главы, относятся к определению групп Ли Gr, которые могут быть группами конформных преобразований некоторого поля тяготения. Для получения полной классификации полей тяготения по группам конформных преобразований для каждого класса полей тяготения с метрикой ds2 erjds2t где метрика ds2 допускает группу Gr в качестве группы движений или гомотетий или группы конформных преобразований О15 ( если ds2 - метрика конформно-плоского поля тяготения), необходимо указать все возможные виды функции а, определяющие, когда и какая подгруппа группы Gr будет группой движений. Для этого для каждой группы конформных преобразований Gr нужно сделать перечисление всевозможных подгрупп Gm ( т г) и затем определять, при каких а данная подгруппа будет группой движений. Qt где фя - скаляры, соответствующие векторам в обобщенных уравнениях Киллинга. [22]
Более интересные примеры получаются, если рассмотреть группы непрерывных преобразований топологических пространств, сохраняющих ту или иную дополнительную структуру. Так получаются, например, группа невырожденных матриц, группа конформных преобразований круга, группа унитарных операторов в гильбертовом пространстве и другие. [23]
С помощью двух разрезов тор можно превратить в лист; расположим этот лист в комплексной плоскости под некоторым углом в начале координат. Точно так же полностью определяется и 2-геометрия в соответствии с группой конформных преобразований. [24]
В главе IV была дана классификация полей тяготения общего вида по группам движений. Ввиду этого вслед за классификацией по группам движений возникает задача классификации полей тяготения по группам конформных преобразований. [25]
Однако мы предполагаем, что наше пространство есть возмущение пространства Минковского ( R4, е), у которого, как мы видели, группа конформных преобразований пятнадцатимерна. [26]
При этом мы должны требовать, чтобы в точке общего положения хотя бы одна из величин Д была отлична от нуля, чтобы получить соотношения для структуры именно нетривиальной группы конформных преобразований. [27]
Результаты, полученные в предыдущих параграфах этой главы, относятся к определению групп Ли Gr, которые могут быть группами конформных преобразований некоторого поля тяготения. Для получения полной классификации полей тяготения по группам конформных преобразований для каждого класса полей тяготения с метрикой ds2 erjds2t где метрика ds2 допускает группу Gr в качестве группы движений или гомотетий или группы конформных преобразований О15 ( если ds2 - метрика конформно-плоского поля тяготения), необходимо указать все возможные виды функции а, определяющие, когда и какая подгруппа группы Gr будет группой движений. Для этого для каждой группы конформных преобразований Gr нужно сделать перечисление всевозможных подгрупп Gm ( т г) и затем определять, при каких а данная подгруппа будет группой движений. Qt где фя - скаляры, соответствующие векторам в обобщенных уравнениях Киллинга. [28]
То что представление операторов стационарной подгруппы в пространстве операторов нулевого порядка должно задаваться матрицами (40.6), является необходимым и достаточным условием того, чтобы данная группа Ли Ог, действующая в четырехмерном пространстве, была группой конформных преобразований. К этим условиям нужно еще добавить условия того, чтобы данная группа имела транзитивное представление в четырехмерном пространстве. Но чтобы группа Gr имела представление в пространстве s измерений, необходимо и достаточно, чтобы она имела подгруппу индекса s, не содержащую нормальный делитель группы Ог ( [137], стр. [29]
Группой симметрии пространства Минковского является группа Пуанкаре. Таким образом, размерность группы Пуанкаре равна 10 - это максимальная возможная размерность группы изометрий четырехмерного лоренцева много обраэия. Группа конформных преобразований пятнадцатимерна и содержит еще гомотетии и инверсии. Бе иногда называют конформной группой Пуанкаре. [30]