Cтраница 3
Результаты, полученные в предыдущих параграфах этой главы, относятся к определению групп Ли Gr, которые могут быть группами конформных преобразований некоторого поля тяготения. Для получения полной классификации полей тяготения по группам конформных преобразований для каждого класса полей тяготения с метрикой ds2 erjds2t где метрика ds2 допускает группу Gr в качестве группы движений или гомотетий или группы конформных преобразований О15 ( если ds2 - метрика конформно-плоского поля тяготения), необходимо указать все возможные виды функции а, определяющие, когда и какая подгруппа группы Gr будет группой движений. Для этого для каждой группы конформных преобразований Gr нужно сделать перечисление всевозможных подгрупп Gm ( т г) и затем определять, при каких а данная подгруппа будет группой движений. Qt где фя - скаляры, соответствующие векторам в обобщенных уравнениях Киллинга. [31]
Легко проследить действие групп на все определенные выше геом. Очевидно, что они являются автоморфизмами конформной структуры, определенной на ( ГМ. Подгруппа SL ( 2; 2) проективных преобразований, сохраняющих квадрику 7 0, индуцирует группу конформных преобразований пространства Минковского. [32]
Однако точка зрения Клейна и Ли допускает не только метрическую геометрию. Возможны геометрические системы, оперирующие такими группами, в которых две точки не имеют инварианта; в такой геометрии двум точкам не соответствует расстояние, в нем невозможно измерение, это не метрическая геометрия. Такова группа, на которой строится так называемая проективная геометрия. Проективная геометрия получила в настоящем столетии очень широкое развитие; построена даже дифференциальная проективная геометрия широкого охвата Ч На группе так называемых аффинных преобразований строится аффинная геометрия, элементарная и дифференциальная; на группе конформных преобразований строится конформная геометрия, также получившая дифференциальное развитие. [33]