Cтраница 3
В этом параграфе нас будет интересовать в определенном смысле обратный вопрос - в какой мере свойства абстрактно заданной группы могут быть охарактеризованы посредством групп линейных преобразований. [31]
Вообще линейное преобразование вполне определяется своей матрицей, и во всем предыдущем так же, как и впоследствии, мы можем говорить или о группе линейных преобразований, или о группе матриц. [32]
При этом группа XiXi / Cx1 ( P) становится группой линейных преобразований пространства Р, что приводит нас в конечном счете к вопросам о группах линейных преобразований. [33]
Если мы желаем расширить группу u u2 подобно расширению группы Ь Ь3 за счет несобственного поворота i ( отражения относительно начала), мы должны рассматривать ее как абстрактную группу, а не как группу линейных преобразований двух переменных. [34]
Так как gf отвечает пара ( tg th, n ( g) A ( f) n ( /)), то отображение g - ( tg9 n ( g)) есть непрерывное гомоморфное отображение G в полупрямое произведение группы линейных преобразований At на N. По условию А неподвижных элементов в N не имеет, поэтому гомоморфизм будет изоморфизмом. Мы получили, что G изоморфна полупрямому произведению двух групп Ли. Следовательно, G есть группа Ли, а для групп Ли лемма заведомо справедлива. [35]
Специальная линейная, или у н и м о-дулярная, группа SL ( V) всех линейных преобразований ( матриц) с определителем единица. Это - группа линейных преобразований, сохраняющих объем re - мерного параллелепипеда; она соответствует эквиаффив-ной геометрии. [36]
Согласно классификации групп линейных преобразований векторного пространства ( раздел 3 - 2) всякая подгруппа группы ортогональных преобразований называется точечной. Следовательно, к точечным группам относится и рассмотренная в предыдущем параграфе группа вращений в трехмерном пространстве. Действительно, все ортогональные преобразования сводятся к комбинации двух типов преобразований - вращения и отражения относительно плоскости, проходящей через начало координат. Точка пространства, соответствующая началу координат, остается при этом неподвижной. [37]
Группа G изоморфна группе линейных преобразований х хт - - Ь некоторого почти-поля К. Обратно, группа линейных преобразований х - хт - - Ь, т ф О, почти-поля К изоморфна группе, обладающей свойствами ( 1), ( 2), причем линейные преобразования можно рассматривать как подстановки элементов почти-поля К. [38]
Иногда рассматривают комплексные линейные представления вещественных групп Ли или вещественные линейные представления комплексных групп Ли. В первом случае подразумевают, что группа линейных преобразований комплексного векторного пространства рассматривается как вещественная группа Ли, во втором - что данная комплексная группа Ли рассматривается как вещественная. [39]
V, при этом G становится группой линейных преобразований пространства V и, следовательно, группой матриц размера пХп относительно данного базиса. [40]
Раньше математики охотно следовали примеру Кэли и каждую группу линейных преобразований путем присоединения к ней абсолютных элементов 21 пытались сводить к полной линейной группе. Сам Клейн часто пользовался этим искусственным приемом. Так, путем присоединения бесконечно удаленной плоскости удается перейти от аффиного пространства к проективному. Именно в таком аналитическом одеянии представил Эйнштейн свою общую теорию относительности. [41]
Идея состоит в следующем. Пусть V обозначает теперь 1333-мерное комплексное пространство, на котором G действует как группа линейных преобразований. [42]
Но общая форма второй степени между шестью однородными координатами содержит 21 постоянную. Следовательно, этот подсчет дает, что в пространстве пяти измерений имеется как раз пятнадцатичленная группа линейных преобразований, которые ( общее) уравнение второй степени переводят само в себя. [43]