Cтраница 1
Группа симметрии системы совпадает с группой 14 симметрии квадрата. Так что имеется 4 одномерных представления Е, А2, Ay, Ац и одно двумерное представление В. [1]
Знание группы симметрии системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка влечет за собой примерно те же следствия, что и знание аналогичной группы симметрии одного уравнения высшего порядка. Если нам известна одно-параметрическая группа симметрии, то мы можем квадратурой найти решение рассматриваемой системы по решению системы первого порядка, имеющей на одно уравнение меньше. Аналогично, знание r - параметрической разрешимой группы симметрии позволяет нам уменьшить число уравнений на г. Эти результаты, очевидно, распространяются также на системы высших порядков, так что инвариантность системы n - го порядка относительно, скажем, однопараметрической группы позволяет понизить порядок одного из уравнений системы на единицу. Однако систему уравнений высшего порядка всегда можно заменить эквивалентной системой первого порядка, поэтому мы сосредоточиваем свое внимание на этом последнем случае. [2]
Грубо говоря, группа симметрии системы дифференциальных уравнений - это группа, преобразующая решения этой системы в другие ее решения. В классических рамках теории Ли эти группы состоят из геометрических преобразований пространства независимых и зависимых переменных системы и действуют на решения, преобразуя их графики. [3]
Группа G является группой симметрии системы, если она действует в V унитарными преобразованиями. [4]
Предложение 3.6. Пусть G - группа симметрии системы дифференциальных уравнений Д, и пусть Н е G есть s - параметри-ческая подгруппа. [5]
Находим все инфинитезимальные образующие v групп симметрии системы, пользуясь основными методами продолжения гл. [6]
Одно из очевидных преимуществ знания группы симметрии системы дифференциальных уравнений состоит в том, что мы по известным решениям можем строить новые. А именно, если нам известно решение u f ( x), то в соответствии с определением и g - f ( x) - тоже решение для любого элемента g группы G, так что у нас есть возможность построить целое семейство решений, подвергая известное решение действию всевозможных элементов группы. [7]
В свете теоремы 2.31, связывающей группы симметрии систем дифференциальных уравнений с инфинитезимальным критерием инвариантности системы относительно продолженных инфинитезимальных образующих группы, главной задачей для нас остается отыскание явной формулы для продолжения векторного поля. Несмотря на обескураживающую сложность продолженного действия группы, определенного формулой (2.18), продолженные векторные поля имеют относительно простой, легко вычислимый вид. [8]
На самом деле инвариантность гамильтониана определяет группу симметрии системы. Но волновые функции системы могут изменяться ( возможно, изменять лишь знак) при операциях симметрии. Группа симметрии волновых функций должна быть такой же, как и группа симметрии гамильтониана. Однако различные собственные функции, которые описывают движения электронов в системе, преобразуются по разным неприводимым представлениям ее группы симметрии. В рассмотренном выше примере функции tyi и фз преобразуются по представлению, симметричному относительно вращения на 180, а функции 2 и 4 - по представлению, антисимметричному относительно этой операции. [9]
Совокупность всех операций симметрии системы называется, как говорилось, группой симметрии системы G, а преобразование волновых функций при операциях симметрии образует представление группы симметрии. Тогда о функциях, принадлежащих каждому из упомянутых выше наборов, говорят как о принадлежащих ( или относящихся) к неприводимому представлению; при этом число функций в наборе называется размерностью этого представления. [10]
Каждому энергетическому уровню для электрона в произвольной системе отвечает определенное неприводимое представление группы симметрии системы. При этом собственные функции гамильтониана системы, соответствующие этому уровню, принадлежат указанному представлению группы симметрии. [11]
Анализ принципа суперпозиции и законов сохранения стационарной симметрии особенно прост в тех случаях, когда группы симметрии систем и подсистем расщепляются в прямые, полупрямые или условные произведения подгрупп. [12]
Если система материальных точек совершает гармонические колебания, то ее нормальные колебания преобразуются по неприводимым представлениям группы симметрии системы. В случае идеального кристалла такой группой является группа трансляций. Поскольку представления этой группы одномерны и определяются заданием квазиволнового вектора k ( см. введение), можно связать с каждой нормальной модой вектор k, относящийся к неприводимому представлению, по которому преобразуется эта мода. [13]
Прежде чем рассматривать группы симметрии дифференциальных уравнений, важно как следует разобрать принципиально более простой случай групп симметрии систем алгебраических уравнений. [14]
Наконец теория групп позволяет существенно понизить порядок решаемых уравнений при использовании симметризованных ( преобразующихся по неприводимым представлениям группы симметрии системы) функций благодаря тому, что матричные элементы операторов, вычисленные с такими функциями, удовлетворяют некоторым соотношениям общего характера. [15]