Cтраница 2
С другой точки зрения делокализованность собственных функций следует из того факта, что они относятся к неприводимым представлениям группы симметрии системы. В самом деле, для достаточно симметричной системы почти каждый ( или даже каждый) атом эквивалентен по симметрии нескольким другим атомам, находящимся в разных участках системы. Поэтому к каждому неприводимому представлению относятся линейные комбинации АО сразу всех таких атомов. Это хорошо видно из рассмотренного выше примера тетра-эдрических молекул типа метана, для которых в кяж / гое из представлений А. Тг входят как АО центрального атома, так и АО всех лигандов. [16]
Итак, все атомные функции системы ( или их линейные комбинации) группируются по симметрии в совокупности, соответствующие неприводимым представлениям ( типам симметрии) группы симметрии системы ( см. табл. III. [17]
Итак, все атомные функции системы ( или их линейные комбинации) группируются по симметрии в совокупности, соответствующие неприводимым - представлениям ( типам симметрии) группы симметрии системы - групповые орбитали ( табл. V. [18]
Это утверждение, известное как теорема Вигнера, позволяет существенно понизить порядок решаемых для молекулы или кристалла уравнений при переходе к функциям, являющимся базисными для неприводимых представлений группы симметрии системы. Процедура построения таких функций для молекулярных систем будет нами подробно рассмотрена в третьей главе. [19]
Можно, однако, воспользоваться методами теории групп, чтобы без знания аналитического или табличного вида ц, а только по принадлежности этих функций и f к неприводимым представлениям группы симметрии системы определить, равен ли нулю или отличен от нуля матричный элемент ( III. Для этого достаточно воспользоваться простым правилом, основанным на том, что интеграл ( III. [20]
Можно, однако, воспользоваться методами теории групп, чтобы без знания аналитического или табличного вида tyi, а только по принадлежности этих функций и f к неприводимым представлениям группы симметрии системы определить, равен ли нулю или отличен от нуля матричный элемент ( IX. Для этого достаточно воспользоваться простым правилом, основанном на том, что интеграл ( IX. [21]
Для того чтобы исследование спектра н имело физический смысл, то есть для того, чтобы характеризовать связанные состояния и волновые пакеты определенными квантовыми числами, это исследование проводится в пространствах функций, преобразующихся по кратным неприводимым представлениям группы G симметрии системы с ( и гамильтониана н) Очевидно G G s ( c) xO O) w, где з ( с) - группа перестановок тождественных частиц из с, о ( 3) - группа вращений 3 - х мерного пространства, w - группа инверсии. [22]
Для того чтобы мотивировать определение локальной разрешимости, давайте посмотрим, почему, в отличие от случая систем алгебраических уравнений, инфинитезимальный критерий (2.25) не является, вообще говоря, необходимым условием для того, чтобы группа Ли G была группой симметрии системы дифференциальных уравнений максимального ранга. [23]
Группа симметрии системы У - это любая локальная группа преобразований, которую мы обозначаем G, действующая на открытом подмножестве М пространства независимых и зависимых переменных системы, обладающая следующим свойством. Если и f ( x) - решение системы У и если для g G определено g - f, то u - g - f ( x) - также решение системы. [24]
Заметим, что прилагательное алгебраические используется лишь, чтобы отличить этот случай от систем дифференциальных уравнений; оно не означает, что Fv должны быть многочленами - это произвольные дифференцируемые функции. Группой симметрии системы будет локальная группа G преобразований, действующая на М и обладающая тем свойством, что G преобразует решения этой системы в другие ее решения. [25]
Из квантовой механики известно, что для коммутирующих операторов можно выбрать общую систему собственных функций. Это обстоятельство и лежит в основе классификации электронных состояний молекулы или кристалла по неприводимым представлениям группы симметрии системы. [26]
Мощь теории групп Ли заложена в решающем наблюдении, что сложные нелинейные условия инвариантности подмножества или функции относительно самих преобразований из группы можно заменить эквивалентным линейным условием инфините-зимальной инвариантности относительно соответствующих ин-финитезимальных образующих действия группы. Этот инфини-тезимальный критерий легко проверяется на практике и, таким образом, дает ключ к явному отысканию групп симметрии систем дифференциальных уравнений. [27]
При преобразованиях симметрии любой многоэлектронной системы ( атома, молекулы, кристалла) физически эквивалентные точки пространства, в частности, ядра одинаковых атомов, переходят друг в друга, а расстояние между любыми двумя точками сохраняется. Это последнее свойство преобразований ( операций) симметрии существенно, как мы видим, для обеспечения инвариантности оператора энергии в уравнении (1.4) относительно преобразований из группы симметрии системы. [28]
Полная группа симметрии системы дифференциальных уравнений - это наибольшая локальная группа преобразований, действующих на независимые и зависимые переменные системы и обладающих свойством переводить решения системы в другие ее решения. Главная цель этой главы - дать удобный систематический вычислительный метод, явно определяющий полную группу симметрии произвольной заданной системы дифференциальных уравнений. Прежде чем приступать к случаю дифференциальных уравнений, жизненно необходимо решить соответствующую задачу в более простой ситуации групп симметрии систем алгебраических уравнений, что мы и делаем в первом параграфе. Во втором параграфе изучается точное определение группы симметрии системы дифференциальных уравнений, что требует знания того, как именно элементы группы преобразуют решения. Соответствующий инфинитезимальный метод опирается на важное понятие продолжения действия группы на пространство производных зависимых переменных системы. Ключевая формула продолжения для инфинитезимальной образующей группы преобразований, данная в теореме 2.36, доставляет основу для систематического описания групп симметрии дифференциальных уравнений. [29]
В квантовой механике приходится вычислять многочисленные матричные элементы операторов. Чтобы сократить работу, хочется заранее знать, какие из них равны нулю. Такие переходы называют запрещенными, а закономерность, по которой их находят, называется правилом отбора. Если известна группа симметрии системы, то такие правила можно найти с помощью теоретико-групповых соображений. Для этого надо знать, как преобразуются оператор, начальное и конечное состояние. [30]