Cтраница 3
В КТП, где все усреднения проводятся до осн. Группой, до к-рой нарушается симметрия, является подгруппа группы симметрии, переводящая вакуум в себя, а все вакуумы теории параметризуются элементами фактор-пространства ( дополнит, пространства) группы симметрии по подгруппе, до к-рой нарушается симметрия. КТП сводится к выбору осн. Вакуумный конденсат) относительно группы симметрии системы является следствием неинвариантности вакуумов по отношению к этой группе. [31]
Полная группа симметрии системы дифференциальных уравнений - это наибольшая локальная группа преобразований, действующих на независимые и зависимые переменные системы и обладающих свойством переводить решения системы в другие ее решения. Главная цель этой главы - дать удобный систематический вычислительный метод, явно определяющий полную группу симметрии произвольной заданной системы дифференциальных уравнений. Прежде чем приступать к случаю дифференциальных уравнений, жизненно необходимо решить соответствующую задачу в более простой ситуации групп симметрии систем алгебраических уравнений, что мы и делаем в первом параграфе. Во втором параграфе изучается точное определение группы симметрии системы дифференциальных уравнений, что требует знания того, как именно элементы группы преобразуют решения. Соответствующий инфинитезимальный метод опирается на важное понятие продолжения действия группы на пространство производных зависимых переменных системы. Ключевая формула продолжения для инфинитезимальной образующей группы преобразований, данная в теореме 2.36, доставляет основу для систематического описания групп симметрии дифференциальных уравнений. [32]
Большая часть исследований Ли о группах симметрии уравнений с частными производными относилась к линейным системам уравнении первого порядка, которые в силу метода характеристик по существу эквивалентны системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако, в статьях Lie [2] и Lie [6] Ли рассматривал симметрии уравнений с частными производными высших порядков. Исследования Ли, связанные с уравнениями с частными производными высших порядков, однако, вообще не были развиты другими исследователями. Одна из возможных причин состоит в том, что в отличие от случая обыкновенных дифференциальных уравнений знание группы симметрии системы уравнений с частными производными не помогает найти общее решение системы. Впрочем, одна увлекательная возможность - это метод разложения группы из работы Vessiot [1]; см. Овсянников [ 3, § 26 ], где имеется современное изложение. [33]
Очевидно, что т, как и каждая из величин о -, меняет знак при преобразовании о - - о. Для этого можно использовать усреднение по ячейке объема F0, включающего большое число узлов решетки, но малого по сравнению с объемом V всей системы. Мы получаем поле р ( х) параметра порядка. По своему определению это поле есть величина макроскопическая; характерный размер, на котором ф ( х) существенно изменяется, должен быть велик по сравнению с расстоянием между частицами системы. В общем случае параметр порядка может быть определен как флуктуирующее макроскопическое поле с одной или несколькими компонентами. Число компонент параметра порядка и комбинации этих компонент, от которых зависят характеристики системы, определяются группой симметрии системы в точке фазового перехода - более подробно эти вопросы изложены в § 8 этой главы. [34]