Группа - узел
Cтраница 1
Группа узла - это сильный инвариант, но с ней, вообще говоря, трудно работать. Наиболее эффективные методы точных вычислений используют первую группу гомологии бесконечного циклического расширения в теории модулей и полиномов Алек-сандера. Хотя при этом очень красиво проявляется взаимодействие между геометрией и комбинаторной теорией групп, мы уклонимся от обсуждений этого. [1]
Группа узла является чрезвычайно мощным инвариантом, однако определение изоморфности двух групп само по себе представляет трудную проблему. Более того, общая проблема изоморфизма групп неразрешима. В ряде случаев вопрос о различении двух узлов может решаться с помощью числовых инвариантов - коэффициентов, и степени полинома Дж. [2]
Если группа дикого узла конечно порождена, то изоморфна ли она группе какого-либо [ ручного ] узла. [3]
Следовательно, группа узла клеверный лист отображается гомоморфно на неабелеву группу. Отсюда следует, что сама группа узла неабелева и, конечно, не является бесконечной циклической. Отсюда мы заключаем, что клеверный лист нельзя развязать. [4]
Копредставление (3.1) группы узла называется копредставлением Виртингера, если всякий проход содержит только одно пересечение и каждый путь vt пересекается с проекциями переходов ровно в четырех точках. Эти два условия всегда можно выполнить, за исключением того случая, когда узел не имеет проходов. О том, что это естественные ограничения, свидетельствует тот факт, что исторически это Копредставление группы узла было одним из первых изученных, и оно, несомненно, наиболее часто встречается - в литературе. Копредставления клеверного листа и восьмерки, изучаемые в следующем параграфе, являются примерами его использования. [5]
Следовательно, группа тривиального узла является бесконечной циклической. [6]
Показать, что группа узла не может быть гомоморфно отображена на фундаментальную группу бутылки Клейна. [7]
Доказать, что группа узла может быть гомоморфно отображена на группу, приведенную в упражнении 12 к гл. [8]
Если G - группа узла и N G, то порядковый идеал % % равен нулю, S является главным идеалом. Образующая идеала р называется многочленом Александера узла. [9]
Таким образом, группа узла дает возможность отличить тривиальный узел от нетривиального. [10]
 |
Поверхность рола я 2.| Неориентируемые поверхности.| Пример зацепленных кривых с коэффициентом зацепления, равным нулю.| Тривиальный ( и нетривиальный ( б узлы. [11] |
Однако ввиду некоммутативности группы узла ( алгоритм ее вычисления см. в [2]) этот инвариант непригоден, в частности для эфф. Определены также более грубые инварианты узлов и зацеплений - многочлены Александера, Джонса и др., возникающие как статистич. Узлы и зацепления могут быть получены посредством нек-рых отождествлений в группах кос; это позволяет строить топологич. Предпринимались попытки использования узлов и зацеплений в статистич. [12]
Гомоморфизм коммутирования отображает группу узла G на бесконечную циклическую группу Z. Для каждого положительного целого числа g существует единственный гомоморфизм группы Z на Zg ( циклическую группу порядка g), а следовательно, и единственный гомоморфизм группы G на Zg. Накрытия S - Л и 2, соответствующие ядру G гомоморфизма G - Z, называются бесконечными циклическими накрытиями, а накрытия, соответствующие ядрам гомоморфизмов G-Zg, называются g - ми циклическими. [13]
Каждый гомоморфный абелев образ группы узла является циклической группой. Более того, все образующие любого верхнего копр ед ставленая этой группы отображаются при этом в один образующий элемент. [14]
Во всяком верхнем копредставлений группы узла любое одно из соотношений является следствием других и, следовательно, может быть отброшено ( см. (1.3) гл. [15]
Страницы: 1 2 3