Cтраница 3
Следовательно, группа узла клеверный лист отображается гомоморфно на неабелеву группу. Отсюда следует, что сама группа узла неабелева и, конечно, не является бесконечной циклической. Отсюда мы заключаем, что клеверный лист нельзя развязать. [31]
Мы утверждаем, что прокоммутированная группа любого узла является бесконечной циклической. Доказательство этого основано на рассмотрении верхнего копредставления группы узла. [32]
Но даже более важным здесь является то, что коммутирование d затем отображает все в коммутативное кольцо. В коммутативном кольце можно определить детерминанты, и, кроме того, для группы узла кольцо / / / устроено особенно просто. [33]
В этом случае, многообразие М S3 U называется дополнительным пространством узла I, а его фундаментальная группа - группой узла. Ясно, впрочем, что М является деформационным ретрактом дополнения S3 /, так что группой узла / можно считать фундаментальную группу nt ( S8 /) этого дополнения. [34]
К сожалению, при рассмотрении групп узлов также встают не решенные до сих пор трудные задачи. Дело в том, что в топологии известны очень простые способы, как по заданному изображению узла найти образующие и определяющие соотношения группы узла. Но чтобы использовать группы для сравнения различных узлов, необходимо уметь решить, изоморфны или нет группы, заданные своими образующими и определяющими соотношениями, а решение этой задачи до сих пор неизвестно. [35]
Образ элемента а при гомоморфизме тривиализации iJH - J получается подстановкой в этот L-полином значения 1 ( см. § 1, гл. Хотя всякий полином узла определен только с точностью до умножения на tn, абсолютное значение Ал ( 1) однозначно определяется классом изоморфии группы узла. Этот инвариант, однако, бесполезен как средство различения типов узлов. [36]
Если q2Ф Ф, то тогда существует по Крайней мере 2 негомеоморфных разложения Хегора рода 2; в некоторых специальных случаях известны 4 различны разложения. Известны также представления с одним определяющим соотношением, не являющиеся геометрическими, на самом деле, большинство представлений таковы. Однако для этих узлов не известны ни все представления с одним соотношением Группы узла, ни все разложения Хегора рода 2, не известно даже, конечно ли число таких представлений и разложений. [37]
Копредставление (3.1) группы узла называется копредставлением Виртингера, если всякий проход содержит только одно пересечение и каждый путь vt пересекается с проекциями переходов ровно в четырех точках. Эти два условия всегда можно выполнить, за исключением того случая, когда узел не имеет проходов. О том, что это естественные ограничения, свидетельствует тот факт, что исторически это Копредставление группы узла было одним из первых изученных, и оно, несомненно, наиболее часто встречается - в литературе. Копредставления клеверного листа и восьмерки, изучаемые в следующем параграфе, являются примерами его использования. [38]
Автоморфизмы oti, 0i, 7г сохраняют ориентацию, а 5 обращает ее. В этой группе имеется отмеченный элемент а, полученный сдвигом окружности S1 - ( 53 51) вдоль нормального ( малого) векторного поля такого, что сдвинутая окружность 5f имеет нулевой коэффициент зацепления с исходной. Граница трубчатой окрестности узла есть тор Т2 D S1, и вложение Т2 - ( 53 51) дает отмеченную коммутативную подгруппу в группе узла, изоморфную Z ф Z с фиксированной парой образующих ( одна из которых - отмеченный элемент а) для нетривиальных узлов. [39]
Элементарные идеалы, определенные для любого конечного копредставления, являются обобщениями полиномов узла, которые мы определим в следующей главе для копредставлений групп узлов. Имеется несколько преимуществ введения идеалов раньше полиномов. Прежде всего, в то время как идеалы определяются для произвольного конечного копредставления группы, полиномы существуют и единственны только для более ограниченного класса групп, удовлетворяющих некоторым алгебраическим условиям. В следующей главе мы обсудим эти условия и покажем, что всякая группа ручного узла удовлетворяет им. [40]
Выбросим из пространства точки, принадлежащие данному узлу, и рассмотрим фундаментальную группу оставшегося множества точек. Эту группу и называют группой узла. Непосредственно очевидно, что если узлы эквивалентны, то их группы изоморфны. Поэтому из неизоморфности групп узлов можно заключить о неэквивалентности самих узлов. Так, например, группа узла, приводящегося к окружности, есть циклическая группа, а группа узла, имеющего вид трилистника ( рис. 27), есть более сложная группа. Последняя группа некоммутативна и, таким образом, неизоморфна группе окружности. Поэтому можно утверждать, что трилистниковый узел невозможно расправить в окружность, не разрубая его, - факт, очевидный экспериментально, но требующий для своего доказательства тонких математических соображений. [41]
Аналогично, чтобы доказать, что клеверный лист отличается от восьмерки, достаточно показать, что их группы неизоморфны. К сожалению, не существует общего приема решения вопроса, определяют или нет изоморфные группы два данных копредставления. Из теоремы Титце известно, что если две группы изоморфны, то их конечные копредставления связаны друг с другом операциями Титце. А нам нужен некий стандартный прием, позволяющий находить, исходя из копредставления группы, некоторые легко вычислимые алгебраические величины, одинаковые для изоморфных групп и называемые вследствие этого групповыми инвариантами. Это значит, что тип группы узла слишком сложен как инвариант, и, следовательно, мы должны перейти к более простым в обращении. Здесь, однако, есть опасность выплеснуть ребенка вместе с водой из ванны: при переходе к более простым инвариантам неизбежно теряется часть информации. [42]
Выбросим из пространства точки, принадлежащие данному узлу, и рассмотрим фундаментальную группу оставшегося множества точек. Эту группу и называют группой узла. Непосредственно очевидно, что если узлы эквивалентны, то их группы изоморфны. Поэтому из неизоморфности групп узлов можно заключить о неэквивалентности самих узлов. Так, например, группа узла, приводящегося к окружности, есть циклическая группа, а группа узла, имеющего вид трилистника ( рис. 27), есть более сложная группа. Последняя группа некоммутативна и, таким образом, неизоморфна группе окружности. Поэтому можно утверждать, что трилистниковый узел невозможно расправить в окружность, не разрубая его, - факт, очевидный экспериментально, но требующий для своего доказательства тонких математических соображений. [43]