Cтраница 3
Совокупность функций / ( yj, образует нек-рую алгебру A ( G) непрерывных функций на G ( относительно обычных поточечных операций), наз. Фурье локально компактной абелевой группы G. В частности, если G есть группа целых чисел, то А () есть алгебра непрерывных функций на окружности, разлагающихся в абсолютно сходящийся тригонометрич. [31]
ДФ З, где Z - абелева группа целых чисел или одна из ее подгрупп. [32]
Если от циклов и гомологии перейти к коциклам и когомологиям, то получится когомологическая размерность, причем когомологич. Отсюда следует, что размерность dim X совпадает с когомологической размерностью по группе целых чисел. [33]
Однако читатель, безусловно, обратит внимание на то обстоятельство, что изложение теории начинается в книге не с гомологии, как это делается у всех других авторов, а с когомологий. Для этого также имеются естественные причины. Дело в том, что, как и в категории полиэдров, когомологии Н с локально компактных пространств с коэффициентами в группе Z целых чисел могут быть определены с помощью свободных коцепных комплексов. [34]
Факторгруппа Нг ( К, G) группы Zr ( K, G) по Вг ( К, G) есть r - мерная группа гомологии комплекса К над группой G коэффициентов. Группа Hr ( P G) при произвольном G, в силу теоремы об универсальных коэффициентах, определяется целочисленными группами HS ( P, 2D, где 2 - группа целых чисел. [35]
Отображение qg: Z - - G, pg ( n) gn очевидно является гомоморфизмом. G являются степенями g), то группа G называется циклической, a g - ее образующей. Примером циклической группы является группа Z целых чисел по сложению. [36]
A, для к-рых f ( xa) 0, образует максимальный идеал, и в С ( Х) нет других максимальных идеалов. LX ( G) ставится в соответствие его преобразование Фурье. В применении к группе целых чисел Z последний пример приводит к доказательству известной теоремы Винера: если функция / ( () разлагается в абсолютно сходящийся тригонометрия, ряд и не обращается в нуль на [ 0, 2я ], то l / f ( t) также разлагается в абсолютно сходящийся тригонометрия, ряд. [37]
Приведем без доказательства известный из топологии результат. Все несингулярные отображения одной сферической поверхности 52 в другую 52 могут быть подразделены на гомотопические секторы. Отображения внутри одного сектора могут непрерывно переходить друг в друга, но отображения двух различных секторов не могут непрерывно переходить друг в друга. Более того, множество таких гомотопических секторов, или классов, счетно и может быть охарактеризовано набором целых положительных и отрицательных чисел и нуля. Точнее, эти гомотопические классы сами образуют группу, изоморфную группе целых чисел. [38]