Cтраница 2
Для каждого интервала I a R обозначим через G ( /) группу гомеоморфизмов / па себя. [16]
Рассмотрим в факторпространстве Т пространства R по отношению эквивалентности х у ( mod 1) группу гомеоморфизмов Г, состоящую из тождественного отображения и гомеоморфизма, полученного из гомеоморфизма ян - - j - а; пространства R на себя факторизацией. Пусть S - отношение эквивалентности в Т: существует такое о. Показать, что не существует непрерывных сечений Т но S, хотя Т и Т / 5 компактны, связны и локально связны. [17]
Пусть G - локально компактная, но не компактная топологическая группа и X - ее алексаидропская компактнфикация; отождествим G с некоторой группой гомеоморфизмов пространства X. Показать, что G не равностепенно непрерывна, хотя ео иимьгкание в фв ( Х X) и компактно. [18]
В рассматриваемом нами круге вопросов ( да и в других вопросах геометрии), важная роль принадлежит группе МС ( Т) классов отображений, которая определяется как факторгруппа группы гомеоморфизмов поверхности Т по нормальной подгруппе, состоящей из гомеоморфизмов, изотопных тождественному отображению. Группы Autjti ( T) и МС ( Т) являются конечно определенными. С другой стороны, в [69] и [96] использованы топологические соображения к нахождению множества определяющих соотношений группы МС ( Т) в ориентируемом случае. [19]
Иной принцип униформизсщии, предложенный примерно в то же самое время Кебе, заключается в том, что если риманова поверхность S топологически эквивалентна плоской области Da С, то существует и конформный гомеоморфизм f: S - - D такой, что группа накрывающих гомеоморфизмов G ( S, S) переходит в клей. [20]
Структура общих топологических групп не так хорошо понятна, как структура конформных или мебиу-совых групп, которые интенсивно изучались многие годы. Однако существует некоторый промежуточный класс групп гомеоморфизмов областей на сфере S, имеющий много общего с мебиусовыми группами. [21]
Покапать, что отображения итп образуют группу G гомеоморфизмов X па себя, которая равностепенно непрерывна и дискретна в топологии простой сходимости, но что G ( наделоннпн дискретной топологией) не является совершенной ни в одной точке иа X. [22]
ГЛАВНОЕ РАССЛОЕНИЕ - G-расслоение ло: Х - В такое, что группа G действует свободно и совершенно на пространстве X. F, если задано представление G в группе гомеоморфизмов F. Ли играют важную роль в теории связно-стей и групп голономии. [23]
Пусть G - клейнова группа на плоскости, имеющая инвариантную компоненту A, a S Д / G. А - - S является регулярным накрытием, в данном случае - плоским, a G есть группа накрывающих гомеоморфизмов этого пак-рытия. [24]
Предположим, что X отделимо п полно, а II равномерно равностепенно непрерывка. & я ( X; X) и что множество П их пределов является равномерно равностепенно непрерывном группой гомеоморфизмов пространства X на себя, которая ( при наделении ее топологией простой сходимости) полна в своей двусторонней равномерной структуре и содержит П как плотную подгруппу. [25]
Вскоре после появления циклических гомологии в работах Ю. П. Соловьева и его учеников [27, 36-39, 68] была создана теория диэдральных гомологии, оказавшаяся важным инструментом для исследования гомотопического строения групп гомеоморфизмов многообразий. Используя диэдральные гомологии и теорию рационального гомотопического типа, Ю.П. Соловьев и Р. Л. Красаус-кас разработали эффективную схему для вычисления рангов гомотопических групп для группы гомеоморфизмов односвязных многообразий и получили точные значения этих рангов для квадрик в комплексных проективных пространствах, комплексных многообразий Грассмана, комплексных многообразий флагов. Сравнительно недавно Н.В. Солодов [71] разработал конструкцию бивариантных диэдральных когомологии и нашел серию точных последовательностей, связывающих эти когомологии с бивариантными циклическими когомологиями. [26]
GTj) непрерывен; следовательно, это гомеоморфизм G на себя. G) образуют, таким образом, группу гомеоморфизмов пространства G; отображения х - аха-1 ( соотв. G, составляют ее подгруппу. Точно так же аксиома ( GTn) показывает, что симметрия х - зг1, являющаяся инво-лютивным отображением G на себя, есть гомеоморфизм G на себя. [27]
Вскоре после появления циклических гомологии в работах Ю. П. Соловьева и его учеников [27, 36-39, 68] была создана теория диэдральных гомологии, оказавшаяся важным инструментом для исследования гомотопического строения групп гомеоморфизмов многообразий. Используя диэдральные гомологии и теорию рационального гомотопического типа, Ю.П. Соловьев и Р. Л. Красаус-кас разработали эффективную схему для вычисления рангов гомотопических групп для группы гомеоморфизмов односвязных многообразий и получили точные значения этих рангов для квадрик в комплексных проективных пространствах, комплексных многообразий Грассмана, комплексных многообразий флагов. Сравнительно недавно Н.В. Солодов [71] разработал конструкцию бивариантных диэдральных когомологии и нашел серию точных последовательностей, связывающих эти когомологии с бивариантными циклическими когомологиями. [28]
Нетрудно проверить, что операторы S ( t) ( t O) коммутируют. Из условия I получаем, что S ( t) ( t 0) есть полугруппа непрерывных преобразований. Ясно также, что если условию I придать двусторонний характер, то преобразования S ( t) дадут группу гомеоморфизмов. Однако двусторонние условия представляются слишком ограничительными и в дальнейшем не предполагаются. Нам понадобится также следующее. [29]
Не следует, однако, ожидать, что в учебнике по общей топологии сколько-нибудь полно могут быть рассмотрены все ее вопросы, включая применения. Например, в книге не нашло отражения современное состояние дескриптивной теории множеств в общих пространствах, ибо этот материал требует отдельной книги. Не рассматривается метод обобщенных метрик, развитый в конце 50 - х и начале 60 - х гг. М. Я. Антоновским, В. Однако книга Энгелькинга обеспечивает очень хорошую основу для приложений современной общей топологии в различных частях математики. Она подходит вплотную к таким приложениям в разделах, посвященных пространствам отображений с различными топологиями, пространствам максимальных идеалов функциональных алгебр, топологическим группам и группам гомеоморфизмов, многозначным отображениям, равномерным пространствам. [30]