Cтраница 3
Пусть R - алгебра над полем, удовлетворяющая тождеству степени d, S - мультипликативная подполугруппа ( с нулем алгебры) R. Пусть R-первичное кольцо, удовлетворяющее тождеству с коэффициентами из Q, где Q - некоторая совокупность эндоморфизмов аддитивной группы кольца R. [31]
Отметим, что [ прямая ] сумма односторонних идеалов совпадает с их [ прямой ] суммой как подгрупп аддитивной группы кольца. [32]
Хотя требование ассоциативности умножения в кольце оказывается весьма естественным, как только что было показано, однако очень часто оно не выполняется. Это алгебра, являющаяся абелевой группой по сложению и группоидом по умножению, причем эти операции связаны законами дистрибутивности. Слова аддитивная группа кольца я мультипликативный группоид кольца имеют понятный смысл. [33]
При изучении групп оказываются полезными и другие алгебраические системы, в частности кольца. Первая операция назынастся сложением, а вторая - умножением, хотя вместо и используются и другие знаки. При этом группа ( М, ) обозначается черсч Л и называется аддитивной группой кольца К. К 0) и oh - О, то каждый и JJICMCIITOII аи / называется делителем нуля п К. [34]
Так как элемент су xd ху лежит в идеале, то аЪ и cd располагаются в одном смежном классе по этому идеалу. Следовательно, разбиение по идеалу оказывается допустимым разбиением и для мультипликативной полугруппы. Ввиду теоремы 7 из § 3, это разбиение является разбиением по некоторой подгруппе / аддитивной группы кольца R. [35]
Подмножество / / кольца R называется надкольцом, если оно является подгруппой его аддитивной группы и подполугруппой его мультипликативной полугруп - jibL Ясно, что подкольцо является кольцом относительно операций, определенных в исходном кольце. В качестве примеров можно указать кольцо четных чисел как подкольцо кольца целых чисел, а последнее как подкольцо колец рациональных и действительных чисел. Всякая подгруппа аддитивной группы кольца с нулевым умножением является подкольцом. [36]
R, будет эндоморфизмом аддитивной группы кольца R, как вытекает из закона дистрибутивности. Мы получили пример операторной группы, в которой различные операторы могут действовать как один и тот же эндоморфизм группы. Взяв в кольце R левые умножения, мы пэиходим к еще одной возможности рассматривать аддитивную группу кольца как Д - опера-торную; допустимыми подгруппами будут при этом левые идеалы кольца. Наконец, объединяя эти две системы операторов, мы придем к такой системе операторов для аддитивной группы кольца R, что допустимыми подгруппами будут двусторонние идеалы этого кольца и только они. [37]
СЕ R, будет эндоморфизмом аддитивной группы кольца R, как вытекает из закона дистрибутивности. Мы получили пример операторной группы, в которой различные операторы могут действовать как один и тот же эндоморфизм группы. Взяв в кольце R левые умножения, мы пэиходим к еще одной возможности рассматривать аддитивную группу кольца как Л - опера-торную; допустимыми подгруппами будут при этом левые идеалы кольца. [38]
Функция р имеет все свойства расстояния на множестве t ( Бур баки, Общая топология, гл. IX, § 2, п 1, определение 1); она определяет на множестве t структуру метрического пространства и тем самым топологию. Согласно одному предложению Бур баки ( Общая топология, гл. IX, § 3, п 2, предложение 3), эта топология определяет на аддитивной группе кольца t структуру метризуемой группы. Так определенная метризуе-мая группа полна. Действительно, в кольце t выполняется следующее условие, из которого вытекает полнота метризуемой аддитивной группы, но которое значительно сильнее: если последовательность элементов ( Ял) 1й 00 из t такова, что расстояние p ( fc, ak 1) стремится к 0 при & - юо, то последовательность ( ak) сходится. [39]
R, будет эндоморфизмом аддитивной группы кольца R, как вытекает из закона дистрибутивности. Мы получили пример операторной группы, в которой различные операторы могут действовать как один и тот же эндоморфизм группы. Взяв в кольце R левые умножения, мы пэиходим к еще одной возможности рассматривать аддитивную группу кольца как Д - опера-торную; допустимыми подгруппами будут при этом левые идеалы кольца. Наконец, объединяя эти две системы операторов, мы придем к такой системе операторов для аддитивной группы кольца R, что допустимыми подгруппами будут двусторонние идеалы этого кольца и только они. [40]