Cтраница 3
Она коммутативна и потому является касательной алгеброй некоторой векторной группы Ли V. По теореме 2.10 канонический гомоморфизм р: 0 - н / 0 является дифференциалом некоторого гомоморфизма f: G - V. Ядро гомоморфизма f обозначим через Я. [31]
Перейдя к факторгруппе G / U, можно свести доказательство к случаю, когда группа U коммутативна. В этом случае по теореме 2 она является векторной группой и действие тора Т на ней линейно. [32]
Она коммутативна и поэтому может быть отождествлена с касательной алгеброй подходящей векторной группы Ли V. По теореме 2.6 канонический гомоморфизм ф: g - g / g является дифференциалом некоторого гомоморфизма /: G - V. Ядро гомоморфизма / обозначим через Я. [33]
Согласно следствию теоремы 2.8 она разлагается в прямое произведение тора и векторной группы. [34]
Если у двух векторных групп § 1 и Г2 одна и та же группа симметрии, то говорят, что группы S 1 и оГ2 принадлежат одной и той же сингонии. Таким образом, под сингонией ( или системой) понимают совокупность исех векторных групп, имеющих одну и ту же группу симметрии. [35]
Решетки корней и весов. Как нам известно ( см. задачу 1.2.30), любая дискретная подгруппа векторной группы V есть свободная абелева подгруппа, базис которой является линейно независимой системой векторов. [36]
Сдвиг по фазе соответству - j ет углу, образованному часовой стрелкой, показывающей на часовое обозначение векторной группы, с направлением 0 часов. [37]
Эти теоремы довольно полно вскрывают структуру локально компактных групп. Для локально связных групп результат оказывается совершенно окончательным: всякая локально компактная, локально связная и связная коммутативная группа со второй аксиомой ( четности есть прямая сумма векторной группы и конечного или счетного числа групп К, изоморфных фактор-группе аддитивной группы вещественных чисел по подгруппе целых чисел. Отсюда, в частности, следует, что коммутативные r - членные группы являются группами Ли, и, таким образом, пятая проблема Гильберта для коммутативных групп оказывается решенной. [38]
Другим полезным примером может служить аффинное я-пространство Кпу рассматриваемое как произведение GaX - - X Ga; любую е-группу, изоморфную некоторой такси группе, мы будем называть векторной группой. Групповая операция часто будет записываться аддитивно. [39]
Пусть F - связная подгруппа Ли группы G, имеющая касательную алгебру f, и F - ее односвязная накрывающая группа Ли. Так как FIF есть векторная группа, то в ней существует связная подгруппа Ли. [40]
Рассмотрим сначала частный случай, когда L - коммутативная. Обозначим через Р максимальную компактную подгруппу L. Факторгруппа G / P Н содержит нормальный делитель LIP F, являющийся векторной группой. Рассуждения, приведенные в конце доказательства леммы 1, применимы и здесь, и из них следует, что Н изоморфна полупрямому произведению фактор-группы H / V на V. Следовательно, Н содержит подгруппу Q, изоморфную H / V и такую, что Н QV. [41]