Cтраница 2
Похожие утверждения о порождаемости могут быть установлены для нециклических элементарных абелевых 2-групп, действующих на группах типа Ли нечетной характеристики, знакопеременных группах, а также на спорадических группах. В этом случае имеется меньше исключений, что достаточно ясно просматривается из списка Бендера простых групп, содержащих сильно ( 2 -) вложенную подгруппу. Такие результаты важны в исследовании групп компонентного типа и, в частности, в доказательстве В-гипотезы. [16]
Как отмечалось в § 2.6, вопрос о существовании и единственности группы / 4 оставался открытым до 1980 г. - на протяжении четырех лет после того, как Янко высказал первые соображения в пользу существования этой спорадической группы. [17]
Обсуждение в предыдущей главе показывает, что спорадические группы, построенные из централизатора инволюции, имеют удовлетворительные характеризации, если установлено их существование и единственность. Аналогично спорадические группы ранга 3 достаточно хорошо характеризуются своими одноточечными стабилизаторами вместе с указанием их действия на трех орбитах. [18]
Большинство свойств простых / ( - групп требует независимого изучения групп типа Ли, знакопеременных групп и спорадических групп. В действительности со спорадическими группами обычно приходится работать с каждой в отдельности, причем вычисления зависят от конкретного определения группы. Для знакопеременных групп большинство свойств может быть проверено прямым вычислением с использованием естественного перестановочного представления. [19]
В [ 8, предложения 2.4 и 2.5 ] для каждой спорадической простой группы G получено ( с помощью теорем 33 и 310) описание всех взаимодействий ( D, Ф) таких, что либо Ф 2 н Ф - D-блок G, либо / zG ( D) 2 и D - ф-блок G. Взаимодействия первого типа имеют все спорадические группы, кроме групп Mi2, Мг2, M2S, M24, Ja Js. [20]
Таким образом, классификационная теорема показывает, что типичными представителями конечных простых групп являются группы типа Ли. Помимо них имеются лишь знакопеременные группы и 26 спорадических групп. Кроме того, в некотором смысле знакопеременные группы можно представлять себе как вырожденное семейство групп типа Ли, поскольку симметрические группы возникают в качестве групп Вейля линейных групп. [21]
Именно на этом пути разумных догадок были открыты еще четыре спорадические группы - группы Янко J2, / з, Л и группа Ричарда Лайенса Ly. Примечательно, что огромные усилия, потребовавшиеся для построения группы Л, вместе с исключительно низкой вероятностью успеха не отпугнули исследователей. Группа Дитера Хелда также возникла из проблемы о централизаторе инволюции, однако здесь централизатор был дан заранее. [22]
В настоящей главе приводится краткий очерк известных простых групп. Последние включают в себя группы простого порядка, знакопеременные группы степени не меньше 5, группы типа Ли и 26 спорадических групп. Группы типа Ли представляют собой аналоги над конечными полями комплексных групп Ли и образуют наиболее обширную часть известных простых групп. В случае конечных групп по сравнению с комплексными возникают некоторые дополнительные типы групп. Например, семейство групп Судзуки и два семейства Ри не имеют прямых комплексных аналогов. Группы типа Ли описываются в § 2.1. Остальная часть главы посвящена спорадическим группам. [23]
Пусть любой неабелев композиционный фактор конечной D - группы G изоморфен либо некоторой знакопеременной группе, либо одной из 26 спорадических групп, либо простой группе лиева типа над полем, характеристика которого принадлежит тг. [24]
Из-за непомерной длины статей и специализированных методов, развитых для изучения простых групп, классификационное доказательство остается недоступным для тех, кто не владеет достаточно свободно теорией конечных групп. Причем это происходит не из-за отсутствия интереса: в действительности многие математики достаточно внимательно следили за исследованиями в этой области, особенно за теми из них, которые связаны со спорадическими группами и группами типа Ли. [25]
Сформулированная теорема со всей определенностью показывает, что отсутствие факторизации - явление, связанное с группами типа Ли характеристики 2 и знакопеременными группами. Для доказательства того, что в ( ш) и ( iv) могут быть лишь такие кандидаты на роль Y, необходимы детальные свойства групп типа Ли нечетной характеристики и спорадических групп. [26]
Наконец, если не учитывать сделанных мимоходом замечаний, я не буду обсуждать удивительные, недавно обнаруженные связи между группой Грисса - Фишера Fx и классической теорией эллиптических функций. Хотя с тех пор были открыты новые интересные числовые соотношения [70], [195], [298], более глубокое объяснение этой взаимосвязи пока составляет загадку. Поскольку примерно 20 из 26 спорадических групп вложено тем или иным способом в группу Flf то вполне возможно, что в конечном счете будет найдено единообразное и однородное описание большинства спорадических групп. Хотя эти исследования и не нужны сами по себе для классификационной теоремы, они лишний раз показывают, что интерес к конечным простым группам еще долго не угаснет и по окончании их классификации. [27]
Теория дважды транзитивных групп перестановок представляет собой одну из наиболее красивых и глубоких глав теории конечных простых групп. Поэтому дважды транзитивные группы играют фундаментальную роль в классификационном доказательстве. Хотя их изучение не позволило обнаружить новые спорадические группы ( за исключением, конечно, известных ранее групп Матье), волнение, вызванное открытием Судзуки целого семейства таких новых простых групп, было-очень похоже на то, которое сопровождало рождение любой спорадической группы. В самом деле, вплоть до того момента, когда Ри показал, что группы Судзуки допускают интерпретацию в рамках лиевской теории, их самих рассматривали как семейство спорадических групп. [28]
Сюда относятся группа Майкла О Нэна ON, порожденная 3 4 -транспозициями группа Фишера F2, группа Грисса-Фишера F. Таким образом, в общей сложности 11 из 26 спорадических групп были построены, исходя из централизатора инволюции. Некоторые из указанных групп имеют более одного сопряженного класса инволюций. [29]
Если проанализировать тем же самым способом случай у5, то ожидаемого противоречия получить не удается. Выявлявшиеся первое время немногочисленные числовые ошибки маскировали истинное положение дел. В конечном счете Янко доказал следующий результат [187], положивший начало современной теории спорадических групп. [30]