Cтраница 3
Безусловно, читатель уже мог заметить, что некоторые из 11 групп, приведенных в таблице 2.1, являются группами GF ( 2) - THna. Как мы уже отмечали, такие группы играют важную роль в общей теории простых групп. GF ( 2) - na образуют именно тот угол, в котором еще могут прятаться некоторые пока не открытые спорадические группы. Воодушевленный успехом с группами J2 и / 3, Янко был вполне готов к тому, чтобы уделить такому поиску значительное время и силы. [31]
Примерно в это же время началась серьезная работа по выяснению общего строения групп GF ( 2) - rnna. Впоследствии у нас еще будет возможность более полно обсудить эту фундаментальную главу теории простых групп. Позвольте мне здесь лишь отметить, что с закрытием этого направления работы у большинства специалистов по конечным группам возникло ощущение, что поиск спорадических групп наконец-то подошел к своему завершению. [32]
Наконец, если не учитывать сделанных мимоходом замечаний, я не буду обсуждать удивительные, недавно обнаруженные связи между группой Грисса - Фишера Fx и классической теорией эллиптических функций. Хотя с тех пор были открыты новые интересные числовые соотношения [70], [195], [298], более глубокое объяснение этой взаимосвязи пока составляет загадку. Поскольку примерно 20 из 26 спорадических групп вложено тем или иным способом в группу Flf то вполне возможно, что в конечном счете будет найдено единообразное и однородное описание большинства спорадических групп. Хотя эти исследования и не нужны сами по себе для классификационной теоремы, они лишний раз показывают, что интерес к конечным простым группам еще долго не угаснет и по окончании их классификации. [33]
Только что мы видели, как группы Конвея определяются централизатором одной своей инволюции. Поскольку М24 ( которая имеет тот же централизатор 2-центральной инволюции, что и группа Не) встречается в качестве одного из возможных заключений теоремы Хелда, то в общей сложности мы уже обсудили централизаторы инволюций в 15 спорадических группах и описали характеризации 13 из них в терминах этих централизаторов. [34]
Теория дважды транзитивных групп перестановок представляет собой одну из наиболее красивых и глубоких глав теории конечных простых групп. Поэтому дважды транзитивные группы играют фундаментальную роль в классификационном доказательстве. Хотя их изучение не позволило обнаружить новые спорадические группы ( за исключением, конечно, известных ранее групп Матье), волнение, вызванное открытием Судзуки целого семейства таких новых простых групп, было-очень похоже на то, которое сопровождало рождение любой спорадической группы. В самом деле, вплоть до того момента, когда Ри показал, что группы Судзуки допускают интерпретацию в рамках лиевской теории, их самих рассматривали как семейство спорадических групп. [35]
Спорадические группы получили свое название из-за того, что они не являются членами ни одного бесконечного семейства конечных простых групп. В 1861 г. Эмиль Матье открыл пять таких групп [210] - [212], однако группа J1 еще целое столетие оставалась неизвестной, хотя она имеет всего 175560 элементов - совсем небольшое число по стандартам теории простых групп. Из-за своих размеров она первоначально была названа монстром. Страсти, разгоревшиеся вокруг новых спорадических групп, подогревались также тем, что некоторые из них строились с помощью компьютера. [36]
Весьма важно четко разделять понятия открытия ( включая построение) и классификации простых групп. Новую простую группу можно искать в любом направлении, причем ее открытие само по себе является вознаграждением и не требует дополнительных теоретических обоснований. В отличие от этого решение любой общей классификационной проблемы обязано быть систематическим и всеобъемлющим-должна быть описана каждая простая группа с заданным свойством. В частности, анализ обязан обнаруживать любую спорадическую группу, удовлетворяющую данным условиям, независимо от того, была ли она открыта ранее. [37]
Теория дважды транзитивных групп перестановок представляет собой одну из наиболее красивых и глубоких глав теории конечных простых групп. Поэтому дважды транзитивные группы играют фундаментальную роль в классификационном доказательстве. Хотя их изучение не позволило обнаружить новые спорадические группы ( за исключением, конечно, известных ранее групп Матье), волнение, вызванное открытием Судзуки целого семейства таких новых простых групп, было-очень похоже на то, которое сопровождало рождение любой спорадической группы. В самом деле, вплоть до того момента, когда Ри показал, что группы Судзуки допускают интерпретацию в рамках лиевской теории, их самих рассматривали как семейство спорадических групп. [38]
Так как эта глава впервые была опубликована в журнале Scientific American в 1964 г., Конуэй успел с тех пор опубликовать другие книги и статьи, появились и статьи о Конуэе. Некоторые из этих публикаций приведены в списке литературы. Она уже стала классическим трудом по занимательной математике и содержит немало важных технических достижений в теории игр и комбинаторике. Относительно вклада Конуэя в разработку теории мозаик Пенроуза см. гл. Его работам по спорадическим группам и теории узлов посвящены мои публикации в номерах журнала Scientific American за июнь 1980 г. и сентябрь 1983 г. В 1987 г. Конуэй покинул Кембридж и стал профессором Принстонского университета. [39]
Однако первая послеклассификационная конференция - двухдневная специальная сессия по конечным простым группам на ежегодном собрании Американского математического общества в начале 1981 г. - быстро рассеяла мрачные предсказания. В самом деле, теория групп живет и здравствует. К моменту конференции набрало силу движение ревизионистов: предлагались новые и более простые подходы в анализе несвязных групп и в так называемых проблемах о стандартной форме. С учетом классификации были проведены дальнейшие исследования геометрии спорадических групп. Кроме того, удалось получить новые важные свойства известных простых групп ( доказательства которых опираются на теорему о полной классификации), а также несколько ярких результатов в новой области амальгам - богатой смеси теории графов и локальной теории, имеющей значение как для конечных, так и для бесконечных групп. [40]
Наряду с этими усилиями шел поиск новых простых групп, причем в год открывалось примерно по одной группе. Сложившуюся ситуацию можно сравнить с теорией элементарных частиц, в которой необходимо внимательно обследовать обширную область в надежде выделить новую частицу с помощью интуиции и теоретических знаний. Раз вторая группа Янко У2 оказалась транзитивной группой перестановок ранга 3 ( D8), то разумно провести более общее изучение таких групп перестановок. Любое правдоподобное направление заслуживает рассмотрения, однако следует учитывать, что вероятность успеха чрезвычайно мала. В ходе изучения централизаторов инволюций и групп перестановок ранга 3 в конечном счете было открыто несколько спорадических групп, но исследование целочисленных решеток, к сожалению, не привело к новым группам. [41]
Как уже отмечалось, для исследования небольших простых групп требуются особые методы. Кроме того, анализ в этих случаях чрезвычайно сложен, причем каждая специфическая проблема рождает свои собственные специальные конфигурации и рассуждения узкого назначения. Например, описание простых групп с кв аз и диэдр а л ь-ными или сплетенными силовскими 2-подгруппами занимает более 300 стр. Исчерпывающий анализ небольших групп занимает, по-видимому, около 3000 журнальных страниц и, кроме того, включает в себя значительное машинное время, необходимое для построения и доказательства единственности ряда спорадических групп. [42]
Главным образом, но не исключительно, для локального анализа необходима информация о строении локальных и силовских подгрупп в простых / ( - группах. Таким образом, строение параболических подгрупп в такой группе X чрезвычайно важно. С другой стороны, если q - отличное от р простое число, то трудно единообразно сформулировать описание ( / - локальных подгрупп в X. Однако свойства этих подгрупп могут быть выведены из общего строения X как ( В, N) - пары, хотя иногда здесь необходимы большие усилия. Похожее замечание применимо к знакопеременным и спорадическим группам. В последнем случае соответствующая работа уже проделана, что дает по существу описание всех локальных подгрупп в спорадических группах. [43]
В настоящей главе приводится краткий очерк известных простых групп. Последние включают в себя группы простого порядка, знакопеременные группы степени не меньше 5, группы типа Ли и 26 спорадических групп. Группы типа Ли представляют собой аналоги над конечными полями комплексных групп Ли и образуют наиболее обширную часть известных простых групп. В случае конечных групп по сравнению с комплексными возникают некоторые дополнительные типы групп. Например, семейство групп Судзуки и два семейства Ри не имеют прямых комплексных аналогов. Группы типа Ли описываются в § 2.1. Остальная часть главы посвящена спорадическим группам. [44]
Главным образом, но не исключительно, для локального анализа необходима информация о строении локальных и силовских подгрупп в простых / ( - группах. Таким образом, строение параболических подгрупп в такой группе X чрезвычайно важно. С другой стороны, если q - отличное от р простое число, то трудно единообразно сформулировать описание ( / - локальных подгрупп в X. Однако свойства этих подгрупп могут быть выведены из общего строения X как ( В, N) - пары, хотя иногда здесь необходимы большие усилия. Похожее замечание применимо к знакопеременным и спорадическим группам. В последнем случае соответствующая работа уже проделана, что дает по существу описание всех локальных подгрупп в спорадических группах. [45]