Cтраница 1
Изоморфные группы, действующие на одном и том же пространстве, не всегда эквивалентны. [1]
Изоморфные группы состоят из одинакового числа элементов. [2]
Изоморфные группы имеют одинаковые представления и приводятся вместе в одной таблице. В первых столбцах указаны принятые условные обозначения представлений. Одномерные представления обозначаются буквами Л, В, двумерные - буквой Е, а трехмерные - F ( обозначение Е для двумерного неприводимого представления не смешивать с обозначением Е для единичного элемента группы. Функции базисов представлений А симметричны, а функции В - антисимметричны по отношению к поворотам вокруг главной оси n - го порядка. Функции различной симметрии по отношению к отражению а отличаются количеством штрихов ( один или два), а индексы g и и указывают на симметрию по отношению к инверсии. Вместе с обозначениями представлений буквами ж, у, z указано по какому представлению преобразуются сами координаты; ось z везде выбрана вдоль главной оси симметрии. [3]
Изоморфные группы имеют одинаковые представления и приводятся вместе в одной таблице. В первых столбцах указаны принятые условные обозначения представлений. Одномерные представления обозначаются буквами Л, В, двумерные - буквой Е, а трехмерные - F ( обозначение Е для двумерного неприводимого представления не смешивать с обозначением Е для единичного элемента группы. Функции базисов представлений А симметричны, а функции В - антисимметричны по отношению к поворотам вокруг главной оси я-го порядка. Функции различной симметрии по отношению к отражению а /, отличаются количеством штрихов ( один или два), а индексы g и и указывают на симметрию по отношению к инверсии. Вместе с обозначениями представлений указано буквами х, yt z, по какому представлению преобразуются сами координаты; ось z везде выбрана вдоль главной оси симметрии. Буквы е и о обозначают. [4]
Изоморфные группы имеют одинаковые представления и приводятся вместе в одной таблице. В первых столбцах указаны принятые условные обозначения представлений. Одномерные представления обозначаются буквами Л, 5, двумерные - буквой Е, а трехмерные - F ( обозначение Е для двумерного неприводимого представления не смешивать с обозначением Е для единичного элемента группы. Функции базисов представлений А симметричны, а функции В - антисимметричны по отношению к поворотам вокруг главной оси n - го порядка. Функции различной симметрии по отношению к отражению а отличаются количеством штрихов ( один или два), а индексы g и и указывают на симметрию по отношению к инверсии. Вместе с обозначениями представлений буквами ж, у, z указано по какому представлению преобразуются сами координаты; ось z везде выбрана вдоль главной оси симметрии. [5]
Графы двух изоморфных групп изображены на рис. 9.7. Ясно, что эти графы совпадают с точностью до обозначений при вершинах и образующих. [6]
Таким образом, изоморфные группы, рассматриваемые абстрактно, без указания природы их элементов, с точки зрения групповых свойств неразличимы. [7]
Будем называть две изоморфные группы абстрактно равными и считать абстрактно равные группы одной и той же абстрактной группой. Утверждение, что две изоморфные группы абстрактно равны, не означает, что такие группы совершенно одинаковы; из него лишь следует, что они обладают одинаковыми групповыми структурными свойствами. Из упражнения 41 будет видно, что группа может быть изоморфна своей собственной подгруппе. Группа и одна из ее собственных подгрупп - это, конечно, не одно и то же, однако их групповая структура может быть одинаковой. [8]
Таким образом, изоморфные группы, рассматриваемые абстрактно, без указания природы их элементов, с точки зрения групповых свойств неразличимы. [9]
Наконец, рассмотрим изоморфные группы О и Т &. Группа Td получается из группы Т добавлением отражений а & в плоскостях, каждая из которых проходит через две оси третьего порядка. Функции, умножающиеся на е или е2 при повороте вокруг оси третьего порядка ( базис комплексно сопряженных представлений Е группы Т), при отражении в плоскости, проходящей через эту ось, переходят друг в друга, так что получается одно двумерное представление. [10]
Наконец, рассмотрим изоморфные группы О и Td. Группа Тл получается из группы У добавлением отражений ad в плоскостях, каждая из которых проходит через1 две оси третьего порядка. Функция базиса единичного представления А группы Т может быть симметричной или антисимметричной по отношению к этим отражениям ( относящимся все к одному классу), что дает два одномерных представления группы Td. Функции, умножающиеся на е или е2 при повороте вокруг оси третьего порядка ( базис комплексно сопряженных представлений Е группы Т), при отражении в плоскости, проходящей через эту ось, переходят друг в друга, так что получается одно двумерное представление. Наконец, из трех функций базиса представления F группы Т одна преобразуется при отражении сама через себя ( причем может остаться неизменной или изменить знак), а две другие - переходят друг в друга. [11]
Два представления определяют изоморфные группы тогда и только тогда, когда одно из них может быть переведено в другое последовательностью преобразований Тице. Если оба представления конечны, то для этого требуется лишь конечное число преобразований Тице. [12]
Изометрпчные пространства имеют изоморфные группы движений. [13]
Указанное соответствие между изоморфными группами G и G называется изоморфизмом. [14]
С точки зрения алгебры изоморфные группы неотличимы: отображение, порождающее изоморфизм, подобно зеркалу, переводит элементы и групповую операцию одной группы в элементы и групповую операцию другой группы. Все, что бы мы ни проделали при помощи групповой операций над элементами одной группы, повторяется по другую сторону зеркала - в другой группе, и это хорошо, поскольку позволяет рассматривать свойства операции в чистом виде независимо от конкретных особенностей элементов и групповых операций. [15]