Односвязная группа

Cтраница 2

Среди всех связных групп Ли G таких, что Lie ( G) g, существует ровно одна ( с точностью до изоморфизма) односвязная группа GO - Пусть С - центр Go - Тогда любая связная группа Ли G такая, что Lie ( G) д, изоморфна Go / Г, где Г с С1 - дискретная подгруппа. [16]

Теперь мы подготовлены к тому, чтобы доказать лоренцев аналог для глобально гиперболических односвязных в будущем пространственно-временных многообразий - теорему Чигера и Эбина ( 1975, теорема 5.11) о множестве раздела полного риманова многообразия, являющуюся обобщением теоремы Криттендена ( 1962) для односвязных групп Ли с биинвариантными римановыми метриками. [17]

Итак, всякая связная группа Ли G0, имеющая g своей алгеброй Ли, представима в виде G / D, где G - односвязная группа Ли с той же алгеброй Ли. Если GI и G2 две односвязные группы Ли с одной и той же алгеброй Ли, то в силу теоремы 1 они локально изоморфны. По теореме о монодромии локальный изоморфизм а продолжается до глобального гомоморфизма аь GI - GZ, а обратное отображение а 1 - до глобального гомоморфизма а. Отображения оцаа и X2ai совпадают с тождественным отображением в окрестности единицы. Так как GI и G2 связны, эти отображения тождественны всюду. [18]

Рассмотрим в качестве примера группу поворотов. Для нее универсальной накрывающей группой является односвязная группа всех действительных чисел. [19]

Ли определяется своей касательной алгеброй. Это в полной мере справедливо для односвязных групп Ли ( следствие теоремы 2.6), а для произвольных связных групп Ли справедливо лишь с точностью до накрытий. [20]

Действительно, уже аддитивная группа R и окружность R / Z не изоморфны, хотя имеют одну и ту же алгебру Ли: коммутативную одномерную алгебру. Однако идеальное положение восстанавливается, если ограничиться связными и односвязными группами ( ср. [21]

G изоморфна факторгруппе G / JV, где G - односвязная группа Ли, a N-ее дискретная центральная подгруппа. [22]

Оказывается, что для любой связной группы Ли G существует связная односвязная группа Ли G, локально изоморфная G. [23]

Остается теперь перейти от существования присоединенных групп к общей теореме существования. У Шевалле [ 8, expose 23 ] имеется построение односвязных групп любого данного типа при условии, что какие-либо группы этого типа уже существуют. Это построение основано на существовании проективных представлений, которые мы здесь не обсуждаем. [24]

По теореме Картана локальная часть Gl группы G распадается в прямое произведение локальных простых групп. Беря прямое произведение универсальных накрывающих для сомножителей, мы получим односвязную группу, изоморфную данной и распавшуюся в требуемое прямое произведение. [25]

ЛИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ АЛГЕБРА, а лУе б-ра Ли типа ( Е) - конечномерная вещественная алгебра Ли и, для любого элемента X к-рой оператор присоединенного представления adX не имеет чисто мнимых собственных значений. Экспоненциальное отображение ехр: ft - - G в соответствующую алгебре Я односвязную группу Ли G является диффеоморфизмом, a G - Ли экспоненциальной группой. [26]

Если данные группы топологические, то требуется, чтобы отображение 91 внутрь группы автоморфизмов 95 было непрерывным, и тогда по определению полагается, что пространство скрещенного произведения равно топологическому произведению пространств сомножителей. Легко проверить, что скрещенное произведение двух топологических групп будет снова топологической группой, скрещенное произведение лиевских групп будет группой Ли и скрещенное произведение односвязных групп будет группой односвязной. [27]

Отображение R2 - Т2. черными кружками показаны прообразы одной точки тора, а стрелками ориентация противолежащих сторон каждого прямоугольника при их склеивании. [28]

Таким образом, хотя алгебры Ли групп SU ( 2) и SO ( 3) изоморфны, сами группы неизоморфны. Окрестности единицы в этих группах, которые называют группами вращений, устроены одинаково, а глобальная топология у них разная. По экспоненциальной формуле восстанавливается односвязная группа SU ( 2), в соответствии с теоремой 5.1. Для группы SO ( 3), которую тоже можно восстановить по алгебре Ли, группа SU ( 2) является накрывающим множеством. [29]

Важной задачей теории групп Ли в целом является изучение топологических свойств групповых пространств и, в первую очередь, их чисел Бетти. Начало этому положил Картан в уже упоминавшейся монографии. Прежде всего им было показано, что пространство связной и односвязной группы Ли разлагается в топологическое произведение евклидова пространства и пространства ее максимальной компактной подгруппы. [30]

Страницы: 1 2 3