Cтраница 2
Пространство стшорор С, в котором группа SL ( 2C) действует как группа матриц, можно определить более инвариантным образом как пространство фундаментального представления группы SL ( 2, С), универсальной накрывающей группы Лоренца. [16]
Будем считать, что dim G 0, и предположим, что для групп, размерность которых меньше, чем dimG, утверждение теоремы справедливо. Перейдя к односвязной накрывающей группе Ли, можно свести доказательство к случаю, когда группа G односвязна. [17]
Рассмотрим в качестве примера группу поворотов. Для нее универсальной накрывающей группой является односвязная группа всех действительных чисел. [18]
Выбранная так группа О1 называется универсальной накрывающей группой. [19]
Группа вращений является компактной группой, поэтому каждое непрерывное однозначное представление этой группы имеет эквивалентное себе унитарное представление. Оказывается, что у группы вращений универсальная накрывающая группа также компактна, поэтому этим же свойством обладают и неоднозначные представления группы вращении. [20]
Тогда ее односвязная ( или универсальная) накрывающая группа G тоже компактна. [21]
Это многообразие является односвязным, но оно не находится во взаимнооднозначном соответствии с группой 5О ( 3): два кватерниона Л и - Л задают одно и то же положение твердого тела. Группа единичных кватернионов называется в математике односвязной накрывающей группы вращений. Построение накрывающего многообразия называется разверткой исходной группы. [22]
Для преодоления этого препятствия мы можем рассмотреть подходящее накрытие М многообразия М, гае все fx, X 6 g, однозначны. Может случиться, что G не действует на М и должна быть заменена некоторой накрывающей группой G. Односвязных накрытий М и G всегда достаточно. [23]
Это равенство справедливо для односвязной группы Ли G. Если группа G не односвязна, то данное соотношение обобщается в терминах так называемых универсальных накрывающих групп. [24]
Чтобы изучить вращательно-отражательную симметрию, рассмотрим сначала систему, состоящую только из у-й частицы. В качестве группы симметрии следует взять группу Г, которая получается из 2-мерной унитарной группы присоединением одного абстрактного элемента ( Г - это накрывающая группа для 0 ( 3); если mj нечетно, то можно использовать и саму группу О ( 3) вместо Г; см. [6], § 9 - 6, и [35], гл. [25]
В § VIII мы определяем понятие группы Пуанкарэ для пространств, допускающих односвязное накрывающее пространство. Группа Пуанкарэ есть группа автоморфизмов односвязного накрывающего пространства и играет тем самым роль, аналогичную роли группы Галуа алгебраического расширения. Устанавливается, что группа Пуанкарэ топологической группы всегда коммутативна и может быть отождествлена с некоторой подгруппой центра односвязной накрывающей группы. В § IX для широкого класса пространств доказывается существование односвязных накрывающих пространств. [26]
В частности, Рз и Рз не являются многообразиями Штейна и не допускают голоморфных функций, отличных от постоянных. Комплексные многообразия Рз, Рз и их общая топологическая граница N, которая представляет собой вещественно аналитическую гиперповерхность ( с формой Леви, имеющей два собственных значения противоположного знака), и являются областями определения интересующих нас голоморфных объектов. Здесь имеется аналогия со спинорами, образующими пространство представления группы SL ( 2, С), двукратной накрывающей группы Лоренца. Конформная группа содержит группу Лоренца как собственную подгруппу ( см. § 3), поэтому твисторы являются обобщением спиноров. [27]
Пусть F - связная подгруппа Ли группы G, имеющая касательную алгебру f, и F - ее односвязная накрывающая группа Ли. Так как FIF есть векторная группа, то в ней существует связная подгруппа Ли. [28]
Заметим, что определенные выше группы Шевалле названы присоединенными, поскольку они были построены из присоединенного представления алгебры L, с которым мы работали в ходе обсуждения. Однако вся процедура может быть обобщена на другие точные представления алгебры L. При этом получаются другие формы групп Шевалле. Точнее говоря, присоединенные группы Шевалле всегда имеют тривиальный центр, а другие формы оказываются накрывающими группами присоединенного варианта. Кроме того, существует представление, приводящее к универсальной группе Шевалле, из которой все другие варианты получаются как гомоморфные образы. [29]
Для любой простой / С-группы вычислены все ее возможные накрывающие. Более детально о них пойдет речь в § 4.15. Таким образом, определены все квазипростые / С-группы. Безусловно, из классификационной теоремы следует, что в действительности мы знаем все квазипростые группы. Исайя Шур показал в [245], что любая простая ( и даже, более общо, совершенная) группа X допускает универсальную накрывающую группу X, обладающую тем свойством, что всякая накрывающая группа для X получается как гомоморфный образ группы X. Центр Z ( X) называется мультипликатором Шура группы X. [30]