Cтраница 2
Сомнение в отсутствии пробелов в ряду канторовых алефов с нашей теперешней точки зрения овладевает нами впервые не при рассмотрении алеф-один или даже алеф-нуль, но уже в самом начале числового ряда. Утверждение, что 1 есть наименьшее следующеее за 0 кардинальное число, должно быть отброшено, как ни на чем не основывающееся. Мне кажется, что отсюда следует математическая непригодность канторова понятия мощности. [16]
Не так для него обстоит дело с алефом Xi и первым порядковым числом третьего класса Q. Он знает, конечно, о построении Харди [ 11 точечного множества, мощность которого равна Хи но не согласен с его построением ( о чем несколько ниже), а потому Xi и Q не имеют требуемого им оправдания. [17]
Например, по правилам чтения арабского языка буква алеф читается в зависимости от диакритики. [18]
В этом случае было бы, что 2 содержит все алефы как подмножества, а потому на основании сказанного о W ( мощности множества W, существование W Бернштейн допускал. Очевидно, что тогда даже было бы cZ ( Z - множество всех подмножеств у W, a Z - его мощность. [19]
Само собою разумеется, что речь идет о законном множестве алефов. [20]
Для теории функций мало знать, что совпадение мощности continnum a первым за-счетным алефом - непротиворечиво: для теории функций необходимо фактическое знание индивидуального перечисления точек трансфинитными числами 2-го класса С an to г а. [21]
Ход его умозаключений прост: если бы некоторое кардинальное число было бы больше любого алефа, то множество М такой мощности содержало бы подмножество, которое можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с W. [22]
Переходя к доказательству второй части теоремы, очевидно можно допустить, что в Q нет наибольшего алефа, и что алефы Q попарно не равны. Соотнесем каждому алефу из Q вполне упорядоченное множество А, имеющее его своей мощностью, и составим сумму S этих множеств, считая множество слагаемых упорядоченным так же, как упорядочено Q. [23]
Из доказанной теоремы пока что не видно, как далеко должны располагаться несчетные измеримые кардиналы от начала шкалы алефов. Чтобы прояснить этот вопрос, рассмотрим аналогичный вопрос о положении сильно недостижимых кардиналов в алефическом ряду. В отличие от доказательства теоремы Улама - Тарского, исследование величины сильно недостижимых кардиналов никак не связано с аксиомой выбора. [24]
Знаменитая проблема континуума заключается в требовании установить соотношения между двумя простейшими несчетными мощностями - мощностью континуума с и первым несчетным алефом N [ a в более широком плане - в том, чтобы установить точное положение мощности с в ряду алефов. Таким образом, аксиома АС проливает мало света на проблему континуума. [25]
Недостаточность этих рассуждений Журдена состояла в том, что хотя из предположения о существовании кардинального числа, большего всякого алефа, в его порядке идей действительно получалось противоречие, но делать отсюда заключение, что всякая мощность есть алеф, все же было нельзя, не исключив возможность существования мощностей, вообще несравнимых ни с каким алефом. [26]
В первом случае (8.1) дает десятизначное представление чисел ft, а во втором - представление через бесконечно большие числа - алефы 1 или обратные им 1 - бесконечно малые. [27]
Переходя к доказательству второй части теоремы, очевидно можно допустить, что в Q нет наибольшего алефа, и что алефы Q попарно не равны. Соотнесем каждому алефу из Q вполне упорядоченное множество А, имеющее его своей мощностью, и составим сумму S этих множеств, считая множество слагаемых упорядоченным так же, как упорядочено Q. [28]
В системе Z можно развивать арифметику, анализ, функциональный анализ, рассматривать кардинальные числа, меньшие Ли - Однако если определить алефы стандартным образом, то доказать в Z существование & о и более высоких кардиналов уже невозможно. [29]
Здесь прежде всего следует весьма отметить систематическую деятельность сильной и прекрасно организованной польской школы, поставившей себе задачею установление новых фактов из теории алефов и continuum a без ограничения ccfin, определенным кругом методов. [30]