Алеф
Cтраница 3
Но тогда вообще оказывалось несправедливыми другое основное положение ( соотношение Бернштейна между але-фами); однако, как известно, результат Кенига ограничивается алефами с трансфинитными индексами и таким образом теряет присущее ему значение. Гейдельбергском конгрессе математиков, на котором был сделан доклад Кенига. Гильберт, Гензель, Хаусдорф и я случайно оказались там вместе. Кантор, который первоначально находился поблизости, пришел тогда к нам, так как его переполняла потребность высказаться. [31]
Но если в 1883 г., универсализируя принцип вполне упорядочения, он набрасывает описание трансфинитных чисел любых числовых классов, вводит с их по-мощью алефы с произвольными индексами, то теперь он ограничивается порядковыми числами первого и второго числовых классов ( порядковых типов вполне упорядоченных конечных и счетных множеств) да единственным алефом-нуль. [32]
На самом деле существует гораздо более общая теорема об изоморфизме некоторых классов, не являющихся множествами, и класса ординалов, а теорема об алефах является лишь ее частным случаем благодаря аксиоме выбора. [33]
В приведенном отрывке речь идет о целом букете эквивалентов аксиомы выбора: об утверждениях, что всякое множество можно нполне упорядочить, что всякая мощность есть алеф, что всякие мощности сравнимы, а также о новом допущении Бернштейна. Подобные сомнения выражались лишь косвенно, чаще всего в форме утверждений, что соответствующие положения пока не доказаны. [34]
Вероятной причиной того, что Кантор ограничился вторым числовым классом, а значит, и алефом-один могло быть также возникшее у него сомнение в возможности отождествления мощностей с алефами. [35]
 |
Динамика коэффициента вытеснения и подвижности высокопроницаемого пропластка.| Динамика коэффициента вытеснения и подвижности низкопроницаемого пропластка. [36] |
Четвертый раздел посвящен обобщению результатов применения технологий, регулирующих фильтрационные сопротивления в ПЗП, применяемых на месторождениях Башкортостана, для выбора и обоснования метода воздействия на пласт 4П месторождения Алеф Йеменской республики. [37]
В этой книге можно прочитать сведения, изложенные в доступной форме о различных числах: действительных, рациональных, комплексных, гиперкомплексных, р-адических числах, трансфинитных числах, об алефах и обратных им числах. [38]
Самое большее, что позволяла утверждать теорема о вполне упорядочении, - это то, что если континуум достаточно добропорядочен и его можно мыслить как множество, то его мощность есть алеф; на вопрос о том, в каком месте шкалы алефов ее искать, ответа не было, и именно это больше всего смущало, например Лузина ( см. с. К тому же математики рассмотренного периода еще не видели, кажется, различного поведения двух формулировок гипотезы континуума - утверждений о несуществовании множества, промежуточного по мощности между счетным множеством и множеством мощности континуум, и о выполнении равенства 2 а 1 по отношению к аксиоме выбора. Если впоследствии удалось показать, что эта аксиома вытекает из обобщенной гипотезы континуума42, то вопрос о связи первой из формулировок гипотезы континуума с нею остается открытым до сих пор. [39]
Недостаточность этих рассуждений Журдена состояла в том, что хотя из предположения о существовании кардинального числа, большего всякого алефа, в его порядке идей действительно получалось противоречие, но делать отсюда заключение, что всякая мощность есть алеф, все же было нельзя, не исключив возможность существования мощностей, вообще несравнимых ни с каким алефом. [40]
Знаменитая проблема континуума заключается в требовании установить соотношения между двумя простейшими несчетными мощностями - мощностью континуума с и первым несчетным алефом N [ a в более широком плане - в том, чтобы установить точное положение мощности с в ряду алефов. Таким образом, аксиома АС проливает мало света на проблему континуума. [41]
Самое большее, что позволяла утверждать теорема о вполне упорядочении, - это то, что если континуум достаточно добропорядочен и его можно мыслить как множество, то его мощность есть алеф; на вопрос о том, в каком месте шкалы алефов ее искать, ответа не было, и именно это больше всего смущало, например Лузина ( см. с. К тому же математики рассмотренного периода еще не видели, кажется, различного поведения двух формулировок гипотезы континуума - утверждений о несуществовании множества, промежуточного по мощности между счетным множеством и множеством мощности континуум, и о выполнении равенства 2 а 1 по отношению к аксиоме выбора. Если впоследствии удалось показать, что эта аксиома вытекает из обобщенной гипотезы континуума42, то вопрос о связи первой из формулировок гипотезы континуума с нею остается открытым до сих пор. [42]
Какими бы ни были личные симпатии того или иного автора этих Cinq letires и его философские вкусы, каждому из них непререкаемо ясно было одно: рассуждение Zermelo отнюдь не устанавливает мощности contmuum a; если ввериться рассуждению Zermelo, мощность continuum a есть, в самом деле, алеф; но найти ее местоположение на шкале алефов - не только не позволялось рассуждением Zermelo, но, напротив того, это представлялось абсолютно безнадежным делом, и не вследствие сложности обстановки, а напротив, благодаря ее простоте. Но этого но было: просто утверждалось, что мощность continuum a находится на алефической шкале без того, чтобы знать точно, в каком именно ее месте. И так как вся обстановка указывала на то, что никакое указание не может быть достигнуто конечным путем, то впервые в математике-встал вопрос во всей его остроте о существенной необходимости делать различие между тем что есть па самом деле ( - реальность) и тем, что может быть доказуемо для человеческого интеллекта ( познание) - вопрос мало новый для философии, прибавим. [43]
Во-первых, Кантор не говорит здесь о произвольном счетном подмножестве множества М, а пользуется термином просто бесконечная последовательность элементов многообразия М, который обычно означал у него счетное вполне упорядоченное подмножество множества М, так что фактически он вел речь не о мощности как кардинальном числе, а о мощности как алефе. [44]
Первый подход Журдена к проблеме вполне упорядочивае-мости нашел отражение в статье О трансфинитных кардинальных числах вполне упорядоченных множеств [1], датированной 2 декабря 1903 г. и опубликованной в 1904 г. Незадолго до этого, изучив многие труды по теории множеств и получив свои первые результаты, в частности теорему, что всякая мощность есть алеф, он письменно сообщил о них Кантору. [45]
Страницы: 1 2 3 4