Cтраница 2
Как нетрудно проверить, это предположение не уменьшает класса рассматриваемых арифметических групп. [16]
Группы GL ( n, Z) относятся к важному классу арифметических групп, о которых будет сказано в следующем параграфе. [17]
Перейдем теперь к случаю когда D - любая симметрическая область, а Г - арифметическая группа, действующая в D. Мы будем предполагать, что размерность максимального тора группы G, рас-щепимого над Q, совпадает с размерностью максимального тора группы G, расщепимого над R. Условимся говорить, что арифметическая группа Г удовлетворяет условию А), если она происходит из алгебраической группы G, для которой имеет место указанное выше соотношение. [18]
Заметим, что преобразования ( VIII) сами образуют простейшую разрывную группу, входящую в состав общей арифметической группы. [19]
Если G - полициклическая группа и А Aut G, то существует В А такая, что А / В - конечно порожденная почти абелева группа, В - арифметическая группа. [20]
Если G - полициклическая группа и Д Aut G, то существует В А такая, что А / В - конечно порожденная почти абелева группа, В - арифметическая группа. [21]
Таким образом, доказательство сводится к случаю, когда группа Г конечно порождена и имеет представление матрицами с элементами в некотором поле алгебраических чисел - эти свойства выполнены и для арифметических групп. [22]
Теорема эта доказана к настоящему времени ( 1977) в следующих случаях: 1) если факторпространство D / T компактно [7]; 2) если группа Г псевдовогнута [8]; 3) если D - симметрическая область, а Г - арифметическая группа. Псевдовогнутая группа определяется следующим образом. [23]
Заметим, что изучение кристаллографических и арифметических групп важно и интересно не только само по себе, но и для алгебраической геометрии. Приведем один, по-видимому, первый и наиболее интересный пример такого приложения. [24]
Группа автоморфизмов конечно порожденной ниль-потентной группы является арифметической. Однако группа автоморфизмов полициклической группы не обязана быть арифметической группой. [25]
Аналогичное утверждение имеет место в общем случае. А именно, пусть D - симметрическая область, Г - арифметическая группа аналитических автоморфизмов области D. [26]
Нам неизвестны примеры квазиоднородных алгебраических многообразий общего типа, отличных от получающихся из арифметических групп. В связи с этим нам кажется правдоподобным и весьма интересным предположение, что все квазиоднородные проалгебраические многообразия общего типа связаны с арифметическими группами, действующими в симметрической области. [27]
Теорема 4.26. В гиперболическом пространстве Н размерности п ЗО не существует рефлективных форм. Иными словами, при п 30 в Н не существует ни ко-компактных, ни арифметических групп отражений. [28]
На протяжении этого параграфа предполагается, что или фактор-пространство D / T компактно, или груп па Г является арифметической группой, или D - единичный круг z 1 и D / T имеет конечный объем. [29]
Помимо работ, объединенных в большие циклы, - также характерная черта научного творчества И.Р.Шафаревича - у него имеется несколько работ по алгебраической геометрии, стоящих особняком. Среди них работа [53], в которой была сделана попытка построить алгебраический аналог теории униформизации для алгебраических многообразий - факторов однородных областей по арифметическим группам. В работе [58] ( см. также [82]) изучаются такие группы, как группы автоморфизмов кольца многочленов от п 2 переменных. Хотя ими много занимались, работа И.Р.Шафаревича остается почти единственной, где имеются общие и точные результаты. В случае п 2 дано точное описание группы в терминах разложения в свободное произведение. Полученные факты применены к доказательству того, что у аффинной плоскости нет нетривиальных форм. В случае п 3 получены результаты о структуре алгебр Ли соответствующих групп. Проблема нахождения их проинтегрированных версий очень трудна: после работы [58] в ней, по существу, не было прогресса. [30]