Cтраница 3
Любая разрешимая арифметическая группа почти расщепляема на ниль-потентную и абелеву части. У - Г, где N является / Г - группой, Т - свободной абелевой группой, Льобая / Г - группа, а потому и любая конечно порожденная нильпотентная группа является арифметической группой. Существуют полициклические группы, не являющиеся арифметическими. [31]
Группа ( 9 всех автоморфизмов поля К ( Г) совпадает с пополнением & группы Г по топологии, индуцированной подгруппами группы Г конечного индекса, если выполняется одно из следующих трех предположений: 1) фактор-пространство D / Y компактно; 2) D - единичный круг и фактор-пространство D / Г имеет конечный объем; 3) D - симметрическая область, Г - арифметическая группа, для которой выполняется условие А) ( см. § 8, стр. [32]
Перейдем теперь к случаю когда D - любая симметрическая область, а Г - арифметическая группа, действующая в D. Мы будем предполагать, что размерность максимального тора группы G, рас-щепимого над Q, совпадает с размерностью максимального тора группы G, расщепимого над R. Условимся говорить, что арифметическая группа Г удовлетворяет условию А), если она происходит из алгебраической группы G, для которой имеет место указанное выше соотношение. [33]
Исследование обнаруживает, что преобразования арифметической группы, оставляющие действительную ось инвариантной, не разбивают треугольника на части, он представляет фундаментальную область. Чтобы разыскать другие фундаментальные области, нужно выяснить, в какие части полосы / арифметические преобразования приводят треугольник А. [34]
В работе строится алгебраический аналог теории униформиза-ции алгебраических многообразий автоморфными функциями. Построенная теория применима к определенному классу алгебраических многообразий над произвольным полем. В частности, над полем комплексных чисел она применима к многообразиям, уни-формизируемым арифметическими группами. В этом случае она эквивалентна теории операторов Гекке. [35]
Любая разрешимая арифметическая группа почти расщепляема на ниль-потентную и абелеву части. Более точно, в G есть такая подгруппа конечного индекса Н, что Я N Т, где N является - группой, Т - свободной абелевой группой. Любая jf - группа, а потому и любая конечно порожденная нильпотентная группа является арифметической группой. Существуют полициклические группы, не являющиеся арифметическими. Например, пусть Л: - 23, Т: - Z2 и Т действует на 0 Л неприводимо, а / - свободная нильпотентная группа ступени 2 и двумя свободными порождающими; р: F - - - Т - каноническое накрытие. Тогда группа 0 Л F, где / е; F действует на Л сопряжением как элемент p ( f) не является арифметической. [36]
Следовательно, остается показать, что пересечение всех подгрупп конечного индекса группы Г тривиально. Хорошо известно, что это имеет место для случая, когда D - единичный круг. Поэтому мы должны здесь рассматривать только случай, когда dimD 1 и фактор-пространство D / T компактно или Г - арифметическая группа. [37]
Нам неизвестны примеры квазиоднородных алгебраических многообразий общего типа, отличных от получающихся из арифметических групп. В связи с этим нам кажется правдоподобным и весьма интересным предположение, что все квазиоднородные проалгебраические многообразия общего типа связаны с арифметическими группами, действующими в симметрической области. [38]
Впрочем, существуют исключения из общего правила, которые, как может показаться, противоречат общим закономерностям распределения уровней в хаотических системах. В 1986 г. Бохигас, Джаннони и Шмит [25] обнаружили явное отклонение от вигнеровского поведения в распределении межуровневых расстояний для треугольника с углами тг / 8, тг / 2 и тг / 3, расположенного на псевдосфере. Однако обсуждавшийся выше спектр несимметричного восьмиугольника не таков: он является характерным для GOE, хотя восьмиугольник находится на псевдосфере. Как было установлено, все треугольники, в которых обнаруживается нестандартная статистика межуровневых расстояний, можно связать с так называемыми арифметическими группами, причем предсказываемые теорией чисел вырождения и вызывают отклонения от универсального поведения. [39]
Хамфриса посвящена полупростым комплексным алгебрам Ли и их конечномерным линейным представлениям. Согласно этой традиции, алгебры Ли рассматриваются как первичный и самоценный объект и их теория строится без использования групп Ли или алгебраических групп. Читатель, не желающий отягощать себя изучением теории групп Ли и алгебраической геометрии, будет чувствовать себя очень комфортно, тем более что автор об этом специально позаботился: каждый шаг мотивирован, изложение носит подробный характер и снабжено хорошо продуманными примерами и упражнениями. Хамфрис известен у нас по переводам двух других его книг Линейные алгебраические группы и Арифметические группы, также отмеченных высокими методическими достоинствами. [40]
Пусть G - полупростая алгебраическая линейная группа, определенная над полем рациональных чисел Q. В частности, GZ означает совокупность целочисленных матриц с определителем 1, a GR - совокупность всех вещественных матриц. Напомним, что, как было показано в известной работе А. Бо-реля и Хариш-Чандра [6], фактор-пространство GR / GZ всегда имеет конечный объем. Обозначим через U максимальную компактную подгруппу группы GH а через ( 7 и Сд - связные компоненты этих групп. Как известно, GQR / UQ представляет собой симметрическое пространство. При некоторых дополнительных условиях Сд / С / может быть реализовано в виде ограниченной однородной области D в Сп. В дальнейшем мы ограничимся этим случаем. Группа GZ, реализованная как группа аналитических автоморфизмов области D, называется арифметической группой. [41]