Cтраница 1
Топологическая группа называется полной, если ее правая и левая равномерные структуры являются структурами полного пространства. [1]
Топологические группы, Множество G, являющееся одновременно группой и хаусдорфовым топологическим пространством, называется топологической группой, если групповые операции непрерывны. Формально это выражается в требовании непрерывности отображения ( х, у) - ху1 из прямого произведения пространств G X GB пространство G. В этом случае топология на множестве элементов группы G называется групповой. [2]
Топологическая группа метризуема тогда и только тогда, когда она удовлетворяет первой аксиоме счет-ности. При этом метрика может быть выбрана лево-инвариантной. [3]
Топологическая группа называется монотетиче-ской, если она топологически порождена одним своим элементом. [4]
Топологическая группа, представимая в виде проективного предела конечных групп, называется проконечной. Класс проконечных групп совпадает с классом компактных вполне несвязных групп. [5]
Топологическая группа называется слабо полной, если каждая фундаментальная последовательность в ней имеет в ней же предел. [6]
Топологическая группа называется локально ограниченной, если ее единичный элемент е обладает ограниченной окрестностью. Для всякой локально ограниченной топологической группы X существует локально компактная группа А, содержащая X в качестве плотной подгруппы; эта группа единственна с точностью до изоморфизма и называется пополнением группы X. Любая замкнутая подгруппа и любой нормальный делитель локально компактной группы представляют собой локально компактные группы. [7]
Топологическая группа, по определению, представляет собой группу X с топологией, удовлетворяющей некоторой аксиоме отделимости, и обладающую тем свойством, что отображение ( произведения X Х на X), которое переводит ( лг, у) в х - 1у, непрерывно. Здесь для нас будет более полезно другое определение, содержащее требование, чтобы отображение 5 ( произведения ХУ Х самого на себя), заданное равенством 5 ( лг, у) ( х, лгу), было гомеоморфизмом. Оба эти определения эквивалентны. Если, наоборот, дано, что 5 есть гомеоморфизм, то 5 1 непрерывно; непрерывным будет и отображение, состоящее из 5 1 с последующим проектированием Ху Х на X. В том случае, когда X-числовая прямая и групповой операцией служит сложение, отображение 5 имеет простой геометрический смысл: оно смещает любую точку ( лг, у) плоскости в вертикальном направлении на отрезок, равный лг. [8]
Топологическая группа, являющаяся слабо полной и удовлетворяющая первой аксиоме счетности, сильно полна. [9]
Топологическая группа называется разрешимой, если она содержит конечную систему убывающих нормальных делителей, оканчивающуюся единичной подгруппой, все фактор-группы которой коммутативны. [10]
Топологическая группа А QQQ х АО ( с топологией произведения) и есть группа аделей. Она локально-компактна и счетна на бесконечности. [11]
Топологические группы образуют категорию, в которой мор-физмами являются непрерывные гомоморфизмы. Иногда рассматривают более узкий класс морфизмов, добавляя требование замкнутости или открытости отображений. [12]
Топологическая группа метризуема тогда и только тогда, когда она удовлетворяет первой аксиоме счет-ности. При этом метрика может быть выбрана лево-инвариантной. [13]
Топологическая группа называется монотетиче-ской, если она топологически порождена одним своим элементом. [14]
Топологическая группа, представимая в виде проективного предела конечных групп, называется прокаченной. Класс проконечных групп совпадает с классом компактных вполне несвязных групп. [15]