Cтраница 3
Топологической группой называется хаусдорфово пространство G, на котором задано непрерывное умножение GxG - - G ( соответствием ( a, b) - - ab), превращающее G в группу и такое, что отображение G - vG, заданное обращением g - - g - l, непрерывно. [31]
Топологической группой называют абстрактную группу С, элементы которой образуют топологическое пространство с аксиомой отделимости Т0, причем операции умножения и взятия обратного & G непрерывны. [32]
Топологической группой называется группа G, снабженная такой топологией, что умножение ( g, h) - gh и инверсия g g - l являются непрерывными отображениями. Очевидно, любая группа Ли ( вещественная или комплексная) является топологической группой. То же относится к группам Ли над полными нормированными полями, к банаховым группам Ли и группам Ли-Фреше. [33]
Существуют топологические группы, пространства которых не являются нормальными. Пример такой группы будет приведен ниже. [34]
Поскольку топологические группы ( В, ) и ( С, ) изоморфны, то нам нужно доказать, что множество 6 ( ДЛ) плотно в С в топологии поточечной сходимости. Мы уже отметили, что 6 ( ДЛ) состоит из непрерывных характеров для R. Нужно показать, что каждое непустое открытое подмножество О С С содержит непрерывный характер для R. Достаточно показать, что в нем содержится непрерывный характер. [35]
Эта топологическая группа, очевидно, связна и локально односвизна. [36]
Каждая топологическая группа может быть двумя способами превращена в равномерное пространство. При первом способе операция правого сдвига будет равномерно непрерывной, а операция левого сдвига и переход к обратному элементу, вообще говоря, нет. Для второго способа равномерно непрерывными будут левые сдвиги и, вообще говоря, не будут правые сдвиги и переход к обратному элементу. [37]
Существуют топологические группы, пространства которых не являются нормальными. Пример такой группы будет приведен ниже. [38]
Две изоморфные топологические группы, очевидно, локально изоморфны, но обратное, вообще говоря, неверно. [39]
Если топологическая группа G действует совершенно в топологическом пространстве Е, то пространство орбит E / G отделимо. [40]
Если топологическая группа G полна, то G G. Пополнение топологической группы в левой равномерной структуре существует не всегда. Для его существования необходимо и достаточно выполнения следующего условия: если л: я. [41]
Если топологическая группа G полна, то G G. Пополнение топологической группы в левой равномерной структуре существует не всегда. Для его существования необходимо и достаточно выполнения следующего условия: если л; [ А еЛ - направленность Коши в левой равномерной структуре, то и jc jAeA - также направленность Коши в этой структуре. [42]
Если топологическая группа G обладает базисом окрестностей единицы, состоящим из таких U, что gUg - l U для всех g e G, то пополнение G в SQ существует. В частности, абелевы группы пополняемы в левой равномерной структуре. [43]
Понятие топологической группы возникло, в связи с рассмотрением групп непрерывных преобразований. [44]
Структура общих топологических групп не так хорошо понятна, как структура конформных или мебиу-совых групп, которые интенсивно изучались многие годы. Однако существует некоторый промежуточный класс групп гомеоморфизмов областей на сфере S, имеющий много общего с мебиусовыми группами. [45]