Cтраница 2
G нек-рую корневую систему, что является основой классификации редуктивных групп. [16]
Более общо, автоморфное представление вводится как неприводимое подпредставление адельной редуктивной группы G ( A) в пространстве функций на G ( A) с некоторыми условиями гладкости и убывания. [17]
Следующая теорема суммирует значительную часть накопленной нами информации о редуктивных группах. [18]
Группа GL ( V) всех автоморфизмов пространства V - алгебраическая редуктивная группа; группа SL ( 10 всех автоморфизмов пространства V, определители которых разны 1, - полупростая алгебраическая группа. [19]
Доказать, что с точностью до изоморфизма существует ровно три различные редуктивные группы над К размерности 4 и полупростого ранга 1 ( ср. [20]
В случае ненулевой характеристики это имеет место, когда Я - редуктивная группа. [21]
Хотя теорема непосредственно применима только к полупростым группам, не представляет труда использовать ее и для редуктивных групп. [22]
В действительности в конце этого пункта станет ясно, что KerAd Z ( G) для любой редуктивной группы G. В случае ограничения Ad: Za-GL ( g) сравнение с гомоморфным образом PGL ( 2yK) группы Za непосредственно показывает, что ядро здесь центрально. [23]
Основной целью этого параграфа является установление взаимно однозначного соответствия между компактными группами Ли и редуктивными комплексными алгебраическими группами, а также между гомоморфизмами компактных и редуктивных групп. На языке теории категорий это означает, что имеется эквивалентность между категориями компактных групп Ли и редуктивных комплексных алгебраических групп. Важным следствием является теорема о полной приводимости линейных представлений полупростых алгебр Ли. Существенную роль в развитой здесь теории играет теорема о полярном разложении, которую мы доказываем в вещественной ситуации, имея в виду дальнейшие применения. Одним из них является доказательство связности множества вещественных точек односвязной комплексной полупростой алгебраической группы, определенной над К. [24]
S регулярен, если размерность централизатора CQ ( s) в G минимальна), и называют полурегулярным тор, являющийся регулярным в смысле первоначального определения ( см., напр. Для редуктивных групп оба эти определения эквивалентны. [25]
Легко видеть, что - при сделанных предположениях G можно отождествить с подгруппой в GL ( V), где V - некоторое конечномерное векторное пространство над / г, a R - с S ( V) / I, где / - некоторый G-инвариантный идеал в S ( V) ( и действие. Таким образом, теорема 2.4.9 и упражнение 2.4. 12 -показывают, что для редуктивных групп обобщенная 14-я проблема Гильберта решается, положительно. [26]
Хабоуша в общем случае, и подготовленному читателю уже будет нетрудно разобрать его самому. В книге - также впервые на русском языке - доказывается в полной общности теорема конечности для геометрически редуктивных групп. [27]
Эти условия дают внутреннюю характеризацию тех подгрупп в 5L ( V), для которых оригинальная 14-я проблема Гильберта решается положительно. В настоящее время показано, что для некоторых классов подгрупп ( например, для максимальных унипотентных подгрупп редуктивных групп) условие codim 2 выполнено ( см. Гроссханс [1] и некоторые относящиеся к этому вопросу оценки у В. Л. Попова [4]), однако никаких общих способов проверки условия codim 2 неизвестно. Контрпример Нагаты к оригинальной 14 - й проблеме Гильберта показывает, что группы, для которых условие codim 2 не выполнено, существуют. Однако непосредственно с помощью критерия codim 2 ни одного такого контрпримера не построено. Таким образом, вопрос о характеризации указанных подгрупп в чисто теоретико-групповых терминах в настоящее время открыт. [28]
К изоморфна компактной форме некоторой связной комплексной редуктивной алгебраической группы G. Если 7V Кег я, то N Z ( G ] в силу задачи 1.3 и К изоморфна вещественной форме редуктивной группы GIN. В силу теоремы 2 эта вещественная форма является алгебраической. [29]
Редуктивная комплексная алгебраическая группа G является алгебраическим замыканием некоторой компактной подгруппы ( см. теорему 7), которая вполне приводима по следствию из теоремы 3.4.2. В силу задачи 27 G также вполне приводима. Если G - вещественная редуктивная линейная алгебраическая группа в векторном пространстве V над К, то G ( С) - комплексная редуктивная группа в пространстве ( С) - Поэтому в силу задач 25 и 27 G вполне приводима над К. [30]