Cтраница 3
Если не считать уклонения в характеристику 0 в главе V, от главы II до главы XI изложение довольно последовательно восходит от общих основополагающих фактов к изучению строения связных алгебраических групп и затем далее к описанию строения, представлений и, наконец, классификации редуктивных групп. В главах II-IV, IX-X мы ориентировались в основном на лекции Бореля [4], которые представляют собой усовершенствование подхода Шевалле в [8] тогда как глава XI - гибрид изложения Шевалле [8] и СГ. Начиная с § 27, мы постоянно используем основные факты о системах корней; все эти факты ( с соответствующими ссылками) перечислены в Добавлении. [31]
Следовательно, изучение произвольной группы G в известной степени сводится к изучению конечной группы G / G0, полупростой ( или редуктивной) группы и связной разрешимой ( или унипотентной) группы. Разумеется, необходимо также рассматривать вопрос о том, как эти куски соединяются вместе, образуя группу G ( проблема расширения); практически это может оказаться довольно трудно сделать. Оставшаяся часть этой книги посвящена главным образом редуктивным группам. Весьма трудно, как мы увидим, непосредственно воспользоваться предположением, что группа G не содержит связных нормальных унипотентных подгрупп. [32]
Точнее, пусть В, В - противоположные подгруппы Бореля редуктивной группы G, U, U - - соответственно уни-потентные части В, В - ( см. Линейная алгебраическая группа), W - группа Вейля группы G. Через w ниже обозначается как элемент группы W, так и его представитель в нормализаторе тора Bf B -, поскольку приводимая конструкция не зависит от выбора представителя. [33]
Мы рассмотрим даже более общий случай, когда группа G полупроста. Пусть Т - максимальный тор группы G, В - содержащая Т борелевская подгруппа, А - соответствующая база системы корней Ф, N N ( T), W N / T. Со ( Га), где Га ( Кег ( а)), для каждого корня а является редуктивной группой полупростого ранга 1 с содержащими Т борелевскими подгруппами TUa и TU-a, и группой Вейля Wa a W, порожденной отражением аа. [34]
Результаты, изложенные в этих книгах, представляют собой основу современной теории представлений компактных групп Ли и прообраз более поздней теории представлений локально компактных групп Ли. Вейля для характеров неприводимых представлений компактных групп Ли были обобщены вначале на представления дискретных серий и затем на произвольные неприводимые представления вещественных редуктивных групп Ли. [35]
В этом пункте будет доказано, что комплексная алгебраическая линейная группа вполне приводима тогда и только тогда, когда она редуктивна. В основе доказательства лежит полная приводимость компактных линейных групп, доказанная в § 3.4. Далее, вполне приводимые вещественные алгебраические линейные группы - это вещественные формы комплексных редуктивных групп. В частности, оказывается, что любое линейное представление вещественной полупростой алгебры Ли вполне приводимо. Вей-лю [34], часто называют унитарным трюком. Все рассматриваемые линейные группы и линейные представления действуют в конечномерных векторных пространствах над полем С или К. [36]
Под влиянием статьи Шевалле [7] Тите выделил некоторое множество аксиом для описания строения простых групп Шевалле ( и их модификаций, построенных позже), получив в результате единое доказательство простоты для всех типов групп. Возникающие на этом пути системы Титса имеются во всех редуктивных алгебраических группах, а также в их подгруппах ( быть может, конечных), состоящих из всех их матриц с коэффициентами в некотором подполе поля К. Ввиду того, что этот аксиоматический подход чрезвычайно полезен и ясен, мы изложим его здесь, несмотря на то, что наши применения будут относиться исключительно к редуктивным группам над / С. Помимо более точного описания параболических подгрупп, мы выведем из этих аксиом полезное представление образующими и соотношениями группы Вейля, что найдет существенное приме -, нение в § 32, а также критерий полупростоты, из которого будет следовать, что простая алгебраическая группа не имеет собственных нормальных подгрупп, не содержащихся в ее центре. [37]
СЕРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИИ - семейства ( непрерывных неприводимых унитарных) представлений локально компактной группы ( точнее, неприводимые множества классов унитарной эквивалентности таких представлений), обладающие общими свойствами по отношению к регулярному представлению этой группы. Так, семейство неприводимых унитарных представлений группы, матричные элементы к-рых являются равномерными на компактах пределами матричных элементов регулярного представления, образуют о с-н о в н у ю серию представлений; остальные неприводимые унитарные представления ( если они существуют) образуют дополнительную серию представлений; семейство ( классов эквивалентности) неприводимых прямых слагаемых регулярного представления образует д и с к р е т-н у ю серию п р е д с т а в л е н и и данной группы. Так, семейство представлений редуктивной группы, индуцированных конечномерными представлениями ее параболич. [38]
Орбита G ( x) замкнута тогда и только тогда, когда замкнута О. Одно из них - присоединенное представление редуктивной группы G - подробно исследовалось ( см., напр. Его изучение связано с теорией представлений группы С; см. Орбит метод. [39]
Теория модулярных представлений групп типа Ли берет свое начало в теории представлений простых алгебр Ли L. То же самое справедливо для любого конечномерного комплексного представления L. Весь процесс далее переносится на произвольное поле / ( ив конечном счете на соответствующую группу Шевалле над К. Если К алгебраически замкнуто, то мы получаем таким образом ввиду классификационной теоремы Шевалле картину теории представлений простых линейных алгебраических групп над К и, более общо, редуктивных групп. [40]