Аффинная группа
Cтраница 3
Рассмотрим окрестность автоквадратного отображения G в подходящем функциональном пространстве отображений области Д - в себя. Поэтому окрестность отображения G факторизуется по действию аффинной группы; пусть л - проектирование этой окрестности на соответствующее факторпространство. Оператор удвоения переставляет орбиты действия аффинной группы; поэтому он опускается до оператора, действующего на факторпро-странстве. [31]
Многогранники Вороного решеток корней Ап ( п - 1), Dn ( п З), Е6, Е7 и Е8 могут быть получены единообразно. Метод основывается на нахождении фундаментального симплекса для аффинной группы Вейля решетки ( см. § 2 гл. [33]
Оглядываясь теперь на наши различные виды геометрий, мы видим, что преобразования, связанные с каждой из них, каждый раз образуют группу. Столь же легко можно убедиться в аналогичном значении аффинной группы ( состоящей из всех аффинных преобразований) для аффинной геометрии и проективной группы ( всех коллинеации) для проективной геометрии. Теоремы геометрии обратных радиусов остаются в силе при всех преобразованиях, получаемых композицией любых преобразований посредством обратных радиусов с подстановками главной группы; все они вместе взятые снова образуют некоторую группу, а именно - группу обратных радиусов. [34]
Относительно системы взаимных векторов см. также С. Нужно еще отметить, что изложенное здесь тензорное исчисление аффинной группы преобразований координат только по терминологии отличается от обычной теории инвариантов алгебраических форм. [35]
Наконец, если положить в основу вместо группы всех аналитических преобразований некоторую подгруппу, то и группа соответствующих линейных преобразований величин и переходит в подгруппу проективной группы; инварианты выражения / ( dx) становятся опять инвариантами функций ( 8) по отношению к линейному преобразованию, но теперь уже по отношению к этой подгруппе. Так можно путем гомогенизации свести случай неоднородных функций f ( dx) к аффинной группе; полная система может быть здесь выведена из функций ( 8), образованных для большего на единицу числа переменных. [36]
Рассмотрим окрестность автоквадратного отображения G в подходящем функциональном пространстве отображений области Д - в себя. Поэтому окрестность отображения G факторизуется по действию аффинной группы; пусть л - проектирование этой окрестности на соответствующее факторпространство. Оператор удвоения переставляет орбиты действия аффинной группы; поэтому он опускается до оператора, действующего на факторпро-странстве. [37]
Пусть G - алгебраическая группа и Я - ее замкнутая под-группд. Мы про делаем это для аффинной группы G. Наш метод использует результаты § 5 для реализации многообразия G / Я в качестве орбиты точки, стабилизатор которой совпадает с Я, при подходящем действии группы G в проективном пространстве. [38]
Мы установим, что в аффинном пространстве Wn нее гиперповерхности второго порядка распределяются в конечное число классов, так что в каждом классе все поверхности аффинно эквивалентны друг другу. Такое распределение на классы называется аффинной классификацией гиперповерхностей второго порядка. Говорят также, что это есть классификация относительно аффинной группы. [39]
Другой задачей, близко связанной с рассмотренной, является определение минимального расстояния приведенных выше кодов. Хорошо известен следующий результат ( см. [ 17, стр. Этот результат обычно доказывают, когда выводят, что код С инвариантен относительно аффинной группы преобразований. Используем предложенные выше методы для нового вывода этого результата. Аналогичный результат получим также для кодов БЧХ других длин. [40]
Пусть А - аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством V размерности п над полем Я. Например, множество М вещественных чисел есть в то же время вещественная аффинная прямая Мд Е, на которой действует одномерная аффинная группа ( см. § 1, 3 гл. [41]
Этим аналитически выражается тот факт, что линии Г и Г в соответствующих точках имеют равные кривизны. При иных значениях ац, а12, аи, а32 указанное тождество может не осуществляться, значит кривизна не является дифференциальным инвариантом аффинной группы. [42]
Остается дать некоторые дополнительные указания, относящиеся к тому случаю, когда переходят от прямоугольной системы координат к косоугольной или когда вообще с самого начала вводят, т ], г; х, у, z как косоугольные декартовы координаты. Ограничение, требующее неподвижности начала координат, остается и здесь в силе. Этим мы переходим от геометрии главной группы к геометрии аффинной группы. Изучение поведения коэффициентов подстановки ( 7) для этой группы по отношению к преобразованиям координат показывает, что хотя они тоже изображают компоненты некоторой геометрической величины, но они преобразуются не так, как произведения координат ( 1), но контра-гредиентно по отношению к ним. Первые называют когредиентными, а последние контрагредиентными компонентами тензора. Вместо коградиентный и контрагредиент-ный часто говорят еще контравариантный и ко-вариантный. [43]
Кэли рассматривал исключительно инварианты группы всех проективных преобразований, однако для расширенных геометрических конфигураций. Клейн утверждает, что различные геометрии можно получить также, если воспользоваться описанным выше правилом для получения проективной геометрии, но рассматривать вместо группы PGLn некоторые ее подгруппы и теорию инвариантов этих подгрупп. Подгруппа, соответствующая каждой отдельной геометрии, состоит из тех элементов группы PGLn, которые отображают добавленный объект в себя. Например, аффинная геометрия в А Рп - Яоо получается в соответствии с этим принципом из теории инвариантов аффинной группы, которая состоит из всех проективных преобразований пространства Ря, отображающих Яоо в себя. Евклидова геометрия в / п Рв - Я получается в соответствии с этим принципом следующим образом. [44]
Рассмотрим те метрические особенности кривых второго порядка, которые связаны с инволюцией, образованной кривой на несобственной прямой. Предположим, что кривая k пересекает несобственную прямую и в двух точках Ра и Qtt ( черт. Если точки Ри и Qu, служащие двойными точками гиперболической инволюции, осуществляемой кривой k на несобственной прямой, являются в то же время соответственными точками абсолютной инволюции, то кривая k называется равносторонней гиперболой. Асимптоты ОРа и OQU равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны. Указанное метрическое свойство не разрушается кол-линеациями группы М, в то время как в аффинной группе равносторонняя гипербола не может быть выделена из класса гипербол. [45]
Страницы: 1 2 3