Cтраница 1
Вещественная группа Ли может быть определена как множество неподвижных точек эндоморфизма а соответствующей комплексной группы, индуцированного комплексным сопряжением. Унитарная группа совпадает с множеством неподвижных точек эндоморфизма ат группы GL ( n, С), где т - отображение транспонирования и обращения матриц. Совершенно так же для выяснения требуемой взаимосвязи важна подгруппа Ga неподвижных точек ( алгебраического) эндоморфизма а линейной алгебраической группы G. Фробениуса ср: а - аР для ag / C индуцируют такие эндоморфизмы группы G. Группы Судзуки и Ри также были описаны в терминах неподвижных точек алгебраического эндоморфизма подходящей простой линейной алгебраической группы. [1]
Как вещественные группы Ли все re - мерные К. [2]
Всякая связная двумерная вещественная группа Ли либо коммутативна либо изоморфна группе аффинных преобразований прямой, сохраняющих ориентацию. [3]
В любой нетривиальной связной разрешимой вещественной группе Ли имеется связная нормальная подгруппа Ли коразмерности единица. [4]
Не всякая вещественная группа Ли обладает комплексификацией. Например, универсальная накрывающая группы вещественных матриц второго порядка с определителем 1 не имеет комплексификации. Однако всякая компактная группа Ли комплексификацией обладает. [5]
Если CR - вещественная группа Ли, совпадающая с группой вещественных точек полупростой R-разло-жимой алгебраич. [6]
Если NG - некоторая вещественная группа Ли, то в многообразии Ck ( M, N) Ck ( M, G) имеется естественная структура группы. [7]
Если G - полу простая вещественная группа Ли с конечным числом связных компонент, то любое линейное представление группы G над полем С или R вполне приводимо. [8]
Билинейные формы, инвариантные относительно вещественной группы L, оказываются автоматически инвариантными относительно Lc. Соотношения, выражающие тензорные свойства - ( - матриц, также автоматически продолжаются на Lc. Отсюда ясно, что свободное действие (11.41) / с-инвариантно. [9]
Следовательно, G является вещественной группой. [10]
Теорема Морозова - Бореля для вещественных групп Ли. [11]
Иногда рассматривают комплексные линейные представления вещественных групп Ли или вещественные линейные представления комплексных групп Ли. В первом случае подразумевают, что группа линейных преобразований комплексного векторного пространства рассматривается как вещественная группа Ли, во втором - что данная комплексная группа Ли рассматривается как вещественная. [12]
Точно так же, теория простых вещественных групп Ли сводится к теории простых алгебр Ли над полем R. Их изучение проводится методами, аналогичными тем, о которых мы говорили в § 11, где изучались простые алгебры и тела над алгебраически незамкнутыми полями. [13]
Следующая теорема позволяет получить характеризацию виртуальных подгрупп Ли вещественных групп Ли в топологических терминах. [14]
ЛИ КОМПАКТНАЯ ГРУППА - компактная группа, являющаяся конечномерной вещественной группой Ли. [15]