Cтраница 3
Группа Ли над С называется также комплексной группой Ли, а группа Ли над R - вещественной группой Ли. Любая комплексная группа Ли может рассматриваться как вещественная группа Ли вдвое большей размерности. [31]
К - Бергмана кернфункция области D, определяет в D кэлерову метрику, наз. Группа G ( D) всех автоморфизмов области D является вещественной группой Ли, не содержащей нетривиальных связных комплексных подгрупп. Если D - однородна, то метрика Бергмана полна. [32]
Иногда рассматривают комплексные линейные представления вещественных групп Ли или вещественные линейные представления комплексных групп Ли. В первом случае подразумевают, что группа линейных преобразований комплексного векторного пространства рассматривается как вещественная группа Ли, во втором - что данная комплексная группа Ли рассматривается как вещественная. [33]
Наконец, к основной задаче приводится и задача отыскания компактных подгрупп групп Ли. Действительно, всякая компактная группа Ли есть прямое произведение полупростой и абелевой групп. Поэтому ясно, что задача определения компактных подгрупп вещественной группы Ли тесно-связана с нахождением ее комплексных полупростых подгрупп. Можно отметить, что геометрически нахождение подгрупп компактных групп дает перечисление однородных топологических многообразий с компактной транзитивной группой преобразований. [34]
Пусть М и N - вещественные многообразия класса С, причем М компактно. Многообразием Фреше является также множество всех сечений С ( Е) класса С дифференцируемого расслоения Е с компактной базой. Если М компактно и G - ( конечномерная) вещественная группа Ли, то группа С ( М, G) является группой Ли-Фреше. [35]
Таким образом, все такие алгебры известны. Картан указал процесс, которым можно получить из алгебры L все ее вещественные формы Lt. В то же время процесс этот дает ответ и на вопрос о компактных подгруппах вещественных групп. [36]
Разложения Ивасавы и Картана. Мы предполагаем, что читатель знаком с основными понятиями теории групп и алгебр Ли и их представлений. Как правило, мы рассматриваем классические комплексные группы Ли SL ( n, С), SO ( n, С), Sp ( n, С) и их вещественные компактные и некомпактные формы, а также группы, тройственные некоторым парам двойственных по Картану вещественных групп, в частности, группы неоднородных линейных преобразований. [37]
Локально связные компактные группы. U ( n, С) всех унитарных комплексных матриц порядка п, группа О ( п, R) всех ортогональных вещественных матриц порядка п ( с топологией, индуцированной топологией полей С и R соответственно, определенной обычным абсолютным значением) и, более общо, любая компактная вещественная группа Ли. [38]
G имеется такой нульмерный нормальный делитель N ( лежащий в центре группы G), что GIN - вещественная группа Ли и, более того, нек-рая окрестность единицы в G является прямым произведением группы N и вещественной Ли локальной группы. Всякая связная конечномерная К. PxC) / Z, где Р - односвяз-ная компактная полупростая вещественная группа Пи, С-связная конечномерная коммутативная К. Z - конечный центральный нормальный делитель, у к-рого лишь единица лежит в С. Изучение строения связных компактных вещественных групп Ли доведено до их полной классификации ( см. Ли компактная группа); строение коммутативных К. [39]
G имеется такой нульмерный нормальный делитель N ( лежащий в центре группы G), что GIN - вещественная группа Ли и, более того, нек-рая окрестность единицы в G является прямым произведением группы N и вещественной Ли локальной группы. Всякая связная конечномерная К. PxC) / Z, где Р - односвяз-ная компактная полупростая вещественная группа Пи, С-связная конечномерная коммутативная К. Z - конечный центральный нормальный делитель, у к-рого лишь единица лежит в С. Изучение строения связных компактных вещественных групп Ли доведено до их полной классификации ( см. Ли компактная группа); строение коммутативных К. [40]
G имеется такой нульмерный нормальный делитель N ( лежащий в центре группы G), что GIN - вещественная группа Ли и, более того, нек-рая окрестность единицы в G является прямым произведением группы N и вещественной Ли локальной группы. Всякая связная конечномерная К. PxC) / Z, где Р - односвяз-ная компактная полупростая вещественная группа Пи, С-связная конечномерная коммутативная К. Z - конечный центральный нормальный делитель, у к-рого лишь единица лежит в С. Изучение строения связных компактных вещественных групп Ли доведено до их полной классификации ( см. Ли компактная группа); строение коммутативных К. [41]
С эквивалентна, по существу, теории абелевых функций, основы к-рой были заложены в работах К. Если С есть n - мерное векторное пространство, ГсС - решетка ( см. Дискретная подгруппа) ранга 2п, то факторгруппа ХС / Г будет комплексным тором. Если степень трансцендентности поля К мероморфных функций на X равна ге, то X можно наделить структурой алгебраич. X и такой, что поле рациональных функций этой структуры совпадает с К. С имеет такой вид. Z симметрична и ее мнимая часть положительно определена. Необходимо отметить, что как вещественные группы Ли все многообразия X изоморфны, но это неверно для их аналитич. Рассмотрение матрицы периодов Z показывает, что это изменение носит аналитич. [42]
У нас есть гильбертово пространство L. У нас есть такое разложение пространства функций на группе на подпространства, отвечающие сериям. Если вы спросите специалиста по представлениям, он вам расскажет приятную историю, что здесь есть разные классы кар-тановских подгрупп и что им отвечает. Мы знали про подпространства, отвечающие голоморфным сериям, что если вы рассматриваете эти функции на вещественной группе, то тогда в комплексной группе можно построить трубы, которые являются многообразиями Штейна и которые имеют вещественную группу границей Шилова, и эти подпространства - в точности граничные значения голоморфных функций в верхней и нижней трубе. Не удивительно, что голоморфные и антиголоморфные серии как-то связаны с комплексным анализом. Но, как мне кажется, значительно более неожиданным и информативным является третье пространство HQ, которое отвечает непрерывной серии представлений с чисто вещественной реализацией. Оказывается, что если взять третью область, которая является дополнением к первым двум областям ( эта область невыпуклая; она не является многообразием Штейна), то функции из этого подпространства являются граничными значениями, но уже не голоморфных функций, а 1-мерных d - когомологий. Другими словами ( этот факт оставался незамеченным), если вы берете на группе функции, которые разлагаются только по непрерывным сериям, то имеется очень жесткое условие на их волновой фронт. Их волновой фронт должен лежать в некотором невыпуклом конусе. Но раз он лежит в невыпуклом конусе, то мы не могли это заметить и перевести на язык голоморфных функций. [43]
У нас есть гильбертово пространство L. У нас есть такое разложение пространства функций на группе на подпространства, отвечающие сериям. Если вы спросите специалиста по представлениям, он вам расскажет приятную историю, что здесь есть разные классы кар-тановских подгрупп и что им отвечает. Мы знали про подпространства, отвечающие голоморфным сериям, что если вы рассматриваете эти функции на вещественной группе, то тогда в комплексной группе можно построить трубы, которые являются многообразиями Штейна и которые имеют вещественную группу границей Шилова, и эти подпространства - в точности граничные значения голоморфных функций в верхней и нижней трубе. Не удивительно, что голоморфные и антиголоморфные серии как-то связаны с комплексным анализом. Но, как мне кажется, значительно более неожиданным и информативным является третье пространство HQ, которое отвечает непрерывной серии представлений с чисто вещественной реализацией. Оказывается, что если взять третью область, которая является дополнением к первым двум областям ( эта область невыпуклая; она не является многообразием Штейна), то функции из этого подпространства являются граничными значениями, но уже не голоморфных функций, а 1-мерных d - когомологий. Другими словами ( этот факт оставался незамеченным), если вы берете на группе функции, которые разлагаются только по непрерывным сериям, то имеется очень жесткое условие на их волновой фронт. Их волновой фронт должен лежать в некотором невыпуклом конусе. Но раз он лежит в невыпуклом конусе, то мы не могли это заметить и перевести на язык голоморфных функций. [44]