Cтраница 3
Сюда относятся молекулы с симметрией какой-либо из кубических групп. Вырождение колебательных уровней, как всегда, частично снимается ангармоничностью; после учета этих эффектов остаются, помимо невырожденных, лишь дву - и трехкратно вырожденные уровни. Мы будем сейчас говорить именно об этих расщепленных ангармоничностью уровнях. [31]
Сюда относятся молекулы с симметрией какой-либо из кубических групп. [32]
Первые два шага сделать легко - молекула ферроцена нелинейна и потому не принадлежит к группам Cxv и Dooft. Кроме того, она не относится к кубическим группам, так как имеет только одну ось порядка выше второго - СБ. [33]
В табл. 1.5 приведены обозначения для неприводимых представлений кубических групп On, Ol, Ол вместе с обозначениями неприводимых представлений точечных групп волнового вектора. Приведены также часто используемые в теории твердого тела обозначения типа Г ъ, учитывающие так называемые соотношения совместности. [34]
При расчете энергий en ( k, a) и затем вкладов Аеу ( а) и Aesi ( aj) по формулам (6.16), (6.24) и (6.25) необходимо принимать во внимание симметрию кристаллической решетки. Ячейку Бриллюэна недеформированного и неполяризованного кристалла кубической системы можно разбить на 48 эквивалентных частей так, что; при преобразованиях системы координат, соответствующих элементам кубической группы, эти части переходят друг в Друга. [35]
Поскольку правильный октаэдр получается путем соединения центров шести граней куба, то ясно, что он инвариантен относительно поворотов из той же группы. Заметим также, что каждая операция группы О сводится к некоторой перестановке четырех пространственных диагоналей. Поэтому кубическая группа изоморфна группе перестановок 5 / А. [36]
А вот почему их называют еще телами Платона, читатель узнает позже, в гл. Здесь же следует отметить, что к телам Платона относят только правильные многогранники, а не любую геометрическую фигуру с кубической точечной группой симметрии. Характерной чертой кубических групп является наличие у них нескольких осей, порядок которых выше второго. [37]
Рассмотрим, наконец, кубически симметричный потенциал. Поскольку потенциал инвариантен относительно всех преобразований кубической группы, то он осуществляет представление FI этой группы. Следовательно, имеется только одна комбинация сферических гармоник четвертого порядка, инвари-антная относительно кубической группы, и только одна - шестого порядка. [38]
В частности, согласно теореме Виг-нера - Эккарта, вектор V внутри мультиплета / можно заменить на zJ, где а - константа, зависящая от вектора V. Как мы уже говорили, такое представление вектора оказывается возможным потому, что разложение прямого произведения 2DJ X J Для группы вращения или П X Г4 и Гб X FS для кубической группы только один раз содержит представление группы, по которому преобразуются компоненты вектора, именно 3) для группы вращения и Г4 для кубической группы. [39]
В частности, согласно теореме Виг-нера - Эккарта, вектор V внутри мультиплета / можно заменить на zJ, где а - константа, зависящая от вектора V. Как мы уже говорили, такое представление вектора оказывается возможным потому, что разложение прямого произведения 2DJ X J Для группы вращения или П X Г4 и Гб X FS для кубической группы только один раз содержит представление группы, по которому преобразуются компоненты вектора, именно 3) для группы вращения и Г4 для кубической группы. [40]
Легко видеть, что у молекул типа шарового волчка средний колебательный момент отсутствует не только в невырожденных, но и в двукратно вырожденных колебательных состояниях. Это следует уже из простых соображений, основанных на свойствах симметрии. Действительно, векторы средних моментов в двух состояниях, относящихся к одному вырожденному уровню энергии, должны были бы преобразовываться друг в друга при всех преобразованиях симметрии молекулы. Но ни одна из кубических групп симметрии не допускает существования двух преобразующихся лишь друг в друга направлений; преобразуются друг в друга лишь совокупности не менее чем трех направлений. [41]
Для подобных молекул, кроме невырожденных, возможны дважды и трижды вырожденные колебания. Однако для дважды вырожденных колебательных состояний расщепление Кориолиса отсутствует, и их колебательно-вращательные уровни энергии имеют тот же вид, как и уровни невырожденных колебательных состояний. Это следует из свойств симметрии кубических молекул. Действительно, предположим, что векторы средних колебательных моментов импульса в двух состояниях, относящихся к одному и тому же дважды вырожденному уровню энергии, не равны нулю. Тогда они должны переходить друг в друга при всех преобразованиях симметрии молекулы. Но в кубических группах симметрии преобразуются друг в друга по крайней мере тройки направлений и не существует преобразующихся только друг в друга пар направлений. [42]
Способность Ландау тут же на месте находить наилучшее доказательство по известному ответу, разумеется, объяснялась тем, что он в совершенстве знал всю физику и умел, как никто, извлечь из ее арсенала самое эффективное оружие. Однако по временам его резоны отнюдь не отличались классической ясностью, а по крайней мере для меня были просто темны. В 1957 г. по причинам, которые здесь не важны, мне пришлось решать простую, но нудную задачу. Имелось 18 величин, преобразующихся по разным неприводимым представлениям одной из кубических пространственных групп, и нужно было определить все независимые инвариантные полиномы четвертой степени. Впоследствии я познакомился с соответствующей теорией, но, убей меня бог, до сих пор не вижу ясно столь непосредственной связи инвариантных полиномов кубической группы с упомянутыми элементами куба. [43]