Cтраница 1
Связная группа - произведение группы преобразований х п - хп - - Ъп на п - 1 - преобразует ось, лежащую на прямой хп ( например, положительную ось), в ось, лежащую на прямой (19.5), причем мы говорим, что эта ось имеет ту же ориентацию, что и ось, выбранная нами на прямой хп. [1]
Связная группа Ли порождается ( как абстрактная группа) любой окрестностью единицы. [2]
Связная группа Ли G нильпотентна тогда и только тогда, когда в канонич. [3]
Связная группа Ли нильпотентна ( как абстрактная группа) тогда н только тогда, когда ее касательная алгебра нильпотентна. [4]
Связная группа Ли порождается ( как абстрактная группа) любой своей окрестностью единицы. [5]
Связная группа Ли G разрешима тогда и только тогда, когда ее касательная алгебра разрешима. [6]
Связная группа Ли 10 ( также обозначаемая SOo ( l 3)) не односвязна. [7]
Если связная группа Ли G действует эффективно на однородном пространстве М G / ff с инвариантной римановой метрикой, то на G существует такая левоинвариантная и Н - правоинвариантная метрика, что проектирование л: G - М является римановой субмерсией. [8]
Всякая связная группа порождается любой окрестностью ее нейтрального элемента. [9]
Всякая связная группа Ли G изоморфна факторгруппе G / N, где G - односвязная группа Ли, а N - ее дискретная центральная подгруппа. [10]
Пусть связная группа Ли G действует на связном многообразии У, М T V - его кокасательное расслоение. [11]
Пусть связная группа G действует на M - G сопряжениями. Стационарная группа любой точки является ее централизатором и имеет тот же ранг1), что и G. Так как в G есть точки ( они называются регулярными), централизаторы которых являются максимальными торами, то главной стационарной подгруппой является максимальный тор Т группы G, и главные орбиты в точности состоят из регулярных точек. Факторгруппа N ( Т) / Т называется группой Вейля группы G, и она действует на эффективно. Так как М7 связ-но, то Ml - Мт, поэтому из 5.2 следует, что любые два элемента из Т, сопряженные в G, на самом деле сопряжены некоторым элементом группы Вейля. Из этой же теоремы 5.2 следует, что регулярные точки, лежащие в торе Г, в точности есть точки, имеющие относительно действия группы Вейля тривиальные стационарные группы. Разумеется, этот факт теории компактных групп Ли хорошо известен и может быть доказан и непосредственно. Эют пример приведен здесь лишь для того, чтобы указать, что теорема 5.2 может рассматриваться как обобщение упомянутого классического результата. [12]
Картана связной группы Ли G. Это замкнутые подгруппы в ( 7, и их алгебры Ли являются алгебрами Картана алгебры Ли группы G. Следует отметить, что группы Картана группы G, вообще говоря, не связны. Но это свойство имеет место в случае компактной группы G: в этом случае группы Картана группы G - максимальные абелевы подгруппы в G, и они все между собой сопряжены. Далее, в этом случае каждый элемент из G принадлежит по меньшей мере одной группе Картана; это утверждение не справедливо для некомпактных групп Ли, даже если они полупросты. [13]
Гомоморфизм связной группы Ли в произвольную группу Ли однозначно определяется своим дифференциалом. [14]
Для произвольной связной группы Ли G рассмотрим ее одно-связное накрытие р: G - G. [15]