Cтраница 4
Предельной для рассматриваемых групп является непрерывная группа т, имеющая ось бесконечного порядка и бесчисленное множество продольных плоскостей. [46]
Первоначально Ли создал свою теорию непрерывных групп специально для изучения дифференциальных уравнений. Но он хорошо сознавал применимость своего мощного инфинитези-мального метода к изучению инвариантов и алгебраических уравнений. Большая часть работ Ли по обыкновенным дифференциальным уравнениям опубликована в собрании его статей; книга Lie [5] на самом деле не отражает всей полноты его открытий. Пользуясь ею, он смог исчерпывающим образом перечислить все возможные понижения порядка для одного обыкновенного дифференциального уравнения; см. Lie [3], где приводятся эти результаты вместе с большим количеством конкретных интересных примеров. [47]
Суммирование по элементам группы для непрерывных групп заменяется интегрированием по области изменения параметров. Элемент объема при интегрировании выбирается таким образом, чтобы результат интегрирования произвольной непрерывной функции параметров группы был бы инвариантен относительно любого преобразования группы. Такое интегрирование называется инвариантным. [48]
В математической теории так называемых непрерывных групп ( или групп Ли) операторы, удовлетворяющие условиям вида (116.12), называют генераторами группы. [49]
В математической теории так называемых непрерывных групп ( или групп Ли) операторы, удовлетворяющие условиям вида ( 116 12), называют генераторами группы. [50]
Ограничение содержания аналитической динамики изучением непрерывных групп преобразований, по отношению к которым известные динамические показатели движения механической системы являются инвариантными показателями. Эта тенденция вызывается тем, что с помощью бесконечно малых преобразований, оставляющих действие по Гамильтону инвариантным до дивергенции, можно получить первые интегралы канонических уравнений, используя теорему Нетер. А канонические преобразования с заданным гамильтонианом преобразованной системы, как уже было отмечено, позволяют составить уравнения в частных производных, полный интеграл которых определяет искомые первые интегралы. Усилению этой тенденции способствует еще и возможность интерпретации самого движения механической системы как последовательность бесконечно малых преобразований координат и импульсов системы. [51]
Инвариантность механических уравнений относительно преобразований непрерывной группы трансляций порождает вектор импульса р как основную характеристику состояния свободной частицы или волновой вектор k как основную характеристику волнового процесса в вакууме. [52]
Если В является производящим оператором сильно непрерывной группы, то таким же будет и оператор В. [53]
Ли определяет в Основаниях теории бесконечных непрерывных групп преобразований ( Orunglagen fur dieTheorie der unendlichenkontinuierlichenTransformationsgruppen, Ber. Wissenschaften, 1891) ( цитируется: Основания) бесконечную непрерывную группу как такую группу преобразований, преобразования которой даны наиболее общими решениями системы дифференциальных уравнений в частных производных, поскольку эти решения зависят не только от конечного числа параметров. Таким путем получают один из вышеуказанных типов, отличных от конечной группы; в то же время, наоборот, предельный случай бесконечно ольшого числа параметров может не удовлетворять никакой системе дифференциальных уравнений. [54]
Совокупность всех подобных перемещений образует непрерывную группу трансляций. [55]