Cтраница 1
Полициклическая группа G называется расщепляемой, если она допускает полупростое расщепление. Два расщепления GI и G2 группы G эквивалентны, если между ними существует изоморфизм, тождественный на G. В любой полициклической группе есть расщепляемая автсшорфно допустимая подгруппа конечного индекса. Полупростые расщепления для расщепляемой группы с точностью до эквивалентности составляют конечное множество классов полупростых расщеплений. [1]
Полициклическая группа G называется расщепляемой, если она допускает полупростое расщепление. Два расщепления GI и Сг2 группы G эквивалентны, если между ними существует изоморфизм, тождественный на G. В любой полициклической группе есть расщепляемая автоморфно допустимая подгруппа конечного индекса. Полупростые расщепления для расщепляемой группы с точностью до эквивалентности составляют конечное множество классов полупростых расщеплений. [2]
В каждой полициклической группе существует подгруппа конечного индекса, являющаяся расширением нильпотентной группы посредством абелевой группы. [3]
Если G - полициклическая группа и Д Aut G, то существует В А такая, что А / В - конечно порожденная почти абелева группа, В - арифметическая группа. [4]
Если G - полициклическая группа и А Aut G, то существует В А такая, что А / В - конечно порожденная почти абелева группа, В - арифметическая группа. [5]
Рассмотрим основные свойства полициклических групп. [6]
В силу конечной определенности полициклической группы G / A модуль А получается конечно порожденным, а групповое кольцо Z ( G / A) удовлетворяет условию максимальности для правых идеалов. Многие вопросы об Шр-группах удается переформулировать и решить в терминах модулей над групповыми кольцами полициклических групп. Основополагающей в этом направлении является теорема Роузблейда - - Холла: если К - алгебраическое расширение конечного поля и G - почти полициклическая группа, то всякий простой / CG-модуль конечномерен. Так как любая группа аппроксимируется своими монолитическими факторгруппами, то всякая конечно порожденная Шр-группа является финитно аппроксимируемой группой. Для широкого класса конечно порожденных Шр-групп получен более тонкий вариант финитной аппроксимируемости. Именно, пусть G - конечно порожденная группа с абелевой нормальной подгруппой А, такой, что G / A полицик-лична. Если А является р-группой, то G почти вся аппроксимируется конечными р-группами. [7]
Подгруппа Фиттинга Fitt G полициклической группы G является максимальной нормальной нилыготент-ной подгруппой. Факторгруппа G / Fitt G для полициклической группы G почти абелева. [8]
В силу конечной определенности полициклической группы G / A модуль А получается конечно порожденным, а групповое кольцо Z ( G / A) удовлетворяет условию максимальности для правых идеалов. Многие вопросы об Slip-группах удается переформулировать и решить в терминах модулей над групповыми кольцами полициклических групп. Основополагающей в этом направлении является теорема Роузблейда - Холла: если К. G - почти полициклическая группа, то всякий простой / ( G-модуль конечномерен. Так как любая группа аппроксимируется своими монолитическими факторгруппами, то всякая конечно порожденная 5Рр - группа является финитно аппроксимируемой группой. Для широкого класса конечно порожденных 9Щ5 - групп получен более тонкий вариант финитной аппроксимируемости. Именно, пусть G - конечно порожденная группа с абелевой нормальной подгруппой А, такой, что G / A полицик-лична. Если А является р-группой, то G почти вся аппроксимируется конечными р-группами. [9]
Подгруппа Фиттинга Fitt G полициклической группы G является максимальной нормальной нильпотент-ной подгруппой. Факторгруппа G / Fitt G для полициклической группы G почти абелева. [10]
Если А и В - конечно порожденные полициклические группы и если А вкладывается в декартову степень группы В, то А вкладывается в конечную прямую степень группы В. [11]
Из теоремы 2.1 вытекает также, что группа автоморфизмов полициклической группы является финитно аппроксимируемой группой. [12]
Нам нужно только показать, что циклическое расширение финитно аппроксимируемой полициклической группы финитно аппроксимируемо; тогда доказательство завершится по индукции. [13]
Если конечно порожденная группа G есть расширение абелевой группы посредством полициклической группы, то на группе Aut G выполнена альтернатива Титса: произвольная конечно порожденная подгруппа Я Aut G либо содержит FZ, либо почти разрешима. Прямое сплетение Н Кг2, где К - конечная группа, вложимо в группу Aut G для некоторой конечно порожденной разрешимой группы G. Можно ли вложить любую счетную группу Я в группу Aut G для подходящей конечно порожденной разрешимой группы G, пока не известно. [14]
Если конечно порожденная группа G есть расширение абелевой группы посредством полициклической группы, то на группе Aut G выполнена альтернатива Титса: произвольная конечно порожденная подгруппа Я: g; Aut G либо содержит F2, либо почти разрешима. К - конечная группа, вложимо в группу Aut G для некоторой конечно порожденной разрешимой группы G. Можно ли вложить любую счетную группу Я в группу Aut G для подходящей конечно порожденной разрешимой группы G, пока не известно. [15]