Гудстейн

Cтраница 1

Гудстейн утверждает, что такое описание процессов счета посредством десятичных числовых знаков не выявляет истинной природы счета. Его описание процесса счета посредством десятичных числовых знаков состоит в следующем. Сначала рассматриваемая совокупность предметов трактуется как исходный числовой знак и этот числовой знак преобразуется в некоторое знакосочетание ( трактуемое тоже как числовой знак), имеющее вид схематичной копии исходного числового знака, например в знакосочетапие, имеющее вид один и один и. Искомый десятичный числовой знак, играющий роль числа членов рассматриваемой совокупности, получается в результате преобразования посредством подходящего рекурсивного процесса полученной схематичной копии исходного числового знака, и лишь с чисто практической точки зрения можно считать, что процесс построения искомого десятичного числового знака протекает одновременно с процессом построения схематичной копии исходного нислового знака. [1]

Гудстейн в предисловии к монографии РА утверждает, что рекурсивный анализ ( так он называет разрабатываемый им вариант конструктивного математического анализа) формализуем в исчислении равенств, однако нигде в тексте РА не поясняет, какой смысл он вкладывает здесь в термин формализация. Конкретный материал, содержащийся в РА, свидетельствует о том, что это утверждение Гудстейна нельзя понимать в том смысле, что все теоремы рекурсивного анализа допускают запись в виде равенств и эти равенства выводимы в исчислении равенств. [2]

Гудстейн, говоря о формализации рекурсивного анализа посредством исчисления равенств, подразумевает, по-видимому, возможность обоснования рассмотренных им ( и многих других) теорем вида ( 19) и упомянутых в § 8 видов в определенном сильном смысле, соответствующем определенному, сильному конструктивному истолкованию утверждений этих видов, которое полностью согласуется с используемым в конструктивной ма-тематике более общим истолкнованием суждений о конструктивных объектах, но предполагает относительную простоту определенных конструкций и связей. [3]

Гудстейн ( Goodstein R, L. [4]

Гудстейн, Рекурсивная теория чисел, наст, сборник. [5]

Успокоитель качки системы Шликка ( схема. [6]

Гудстейн, а затем, более точными методами, Я. Л. Лунц и Д. М. Климов вычислили скорость систематического ухода при нутациях. [7]

Монографии Гудстейна и работа Карри, включенные в эту книгу, написаны так, что для их понимания не требуются какие-либо специальные знания в области конструктивной математики. [8]

По-видимому, Гудстейн является первым из тех математиков, которые отчетливо осознали недопустимость безоговорочного перенесения в конструктивную математику используемого в классической математике способа перехода от предикатной формы построения теорий к операторной форме. [9]

В монографиях Гудстейна используется иное пс форме, чем у Карри, понятие примитивно рекурсивной функции, и теореме ( А) соответствует предусмотренный определением этого понятия способ введения новш функций посредством явных определении. [10]

Недоказуемость теоремы Гудстейна, понимаемая в этом смысле, вряд ли может помешать нам убедиться в ее фактической справедливости. Наши интуитивные представления позволяют нам расширить действие тех ограниченных приемов доказательства, которыми мы воспользовались ранее. В действительности сам Гудстейн доказал свою теорему, прибегнув к разновидности метода, который называется трансфинитной индукцией. В контексте нашего изложения этот метод сводится к систематизации интуитивных ощущений, которые возникают в процессе знакомства с причиной, по которой теорема Гудстейна и в самом деле верна. Эти ощущения могут родиться практически целиком за счет изучения некоторого числа частных случаев указанной теоремы. И тогда станет видно, как скромная незаметная операция ( б) безжалостно отщипывает по кусочку от огромной башни показателей до тех пор, пока она не начинает постепенно таять и полностью исчезает, - хотя бы на это ушло и невообразимо большое число шагов. [11]

Второй характерной чертой подхода Гудстейна является своеобразие предложенных им конструктивных аналогов понятий равномерно непрерывной и равномерно дифференцируемой в сегменте ( с рациональными концами) вещественной функции вещественной переменной. [12]

Весьма существенным для теории Гудстейна является Тот факт, что в определении вводимого им аналога понятия равномерно непрерывной функции примитивно рекурсивные вещественные числа не фигурируют в качестве подлежащих рассмотрению значений аргумента. Это не означает, что при построении теории введенных им функций необходимо избегать рассмотрения значений этих функций в примитивно рекурсивных точках - как уже было упомянуто, любое такое значение может быть построено в виде примитивно рекурсивного вещественного числа. Однако Гудстейн почему-то стремится избегать рассмотрения значений функций в примитивно рекурсивных ( даже в рациональных) точках. Эта тенденция лишает его возможности приблизить к формулировкам классического математического анализа, упростить, а в некоторых случаях и уточнить формулировки некоторых теорем, не выходя при этом за рамки допускаемого его подходом уровня логической сложности утверждений. Примером может служить теорема 2.4 из РА. [13]

Кроме подхода, предложенного Гудстейном, разрабатываются и другие подходы. Однако для достижения этой цели во многих случаях приходится пользоваться формулировками, имеющими более сложную логическую структуру, чем в рекурсивном анализе Гудстейна. [14]

Обоснования единственности решений функциональных урав-нений Гудстейн не проводит. [15]

Страницы: 1 2 3