Cтраница 3
При построении конструктивного математического анализа на основе определений, имеющих достаточно сложную логическую структуру, возникают серьезные осложнения принципиального характера: несмотря на определенные успехи, достигнутые в проблеме конструктивного истолкования математических суждений, в вопросе о конструктивном понимании достаточно сложных математических суждений до настоящего времени нет желаемой ясности. Поэтому общий замысел Ско-лема и его конкретные реализации ( в частности, рекурсивный анализ Гудстейна) заслуживают пристального внимания. [31]
Гудстейн в предисловии к монографии РА утверждает, что рекурсивный анализ ( так он называет разрабатываемый им вариант конструктивного математического анализа) формализуем в исчислении равенств, однако нигде в тексте РА не поясняет, какой смысл он вкладывает здесь в термин формализация. Конкретный материал, содержащийся в РА, свидетельствует о том, что это утверждение Гудстейна нельзя понимать в том смысле, что все теоремы рекурсивного анализа допускают запись в виде равенств и эти равенства выводимы в исчислении равенств. [32]
РА, за рамки рекурсивного анализа Гудстейна выходят определения и теоремы, в которых фигурирует понятие общерекурсивной функции, и теоремы о невозможности эффективных методов ( алгорифмов), удовлетворяющих определенным условиям. В монографии РА теоремы этого типа играют роль дополнений к специфическому фрагменту конструктивного математического анализа, разработанному Гудстейном. [33]
Кроме подхода, предложенного Гудстейном, разрабатываются и другие подходы. Однако для достижения этой цели во многих случаях приходится пользоваться формулировками, имеющими более сложную логическую структуру, чем в рекурсивном анализе Гудстейна. [34]
В настоящее время интенсивно развивается конструктивное направление в математике, в частности, конструктивный математический анализ, Р. Л. Гудстейн является автором весьма интересного и своеобразного подхода к построению некоторых фрагментов конструктивного математического анализа. Этот подход существенно отличается ( как по общему замыслу, так и по характеру центральных понятии) от подходов, использованных другими математиками; лн тесно связан с введенным Гудстейном исчислением раненств, представляющим собой аксиоматический фрагмент теории рекурсивных арифметических функций, обладающий рядом важных достоинств. [35]
Варианты конструктивного математического анализа, в которых фигурируют понятия, основанные на понятии частично рекурсивной функции или на понятии общерекурсивной функции ( или на каких-либо эквивалентных им понятиях), представляют собой теории более общего типа, чем рекурсивный анализ Гудетейна. Однако возникающие в этих теориях осложнения логического характера побуждают в максимальной степени использовать ценные черты, имеющиеся в более узком, но в то же время более четком в логическом отношении ( и вполне достаточном для многих целей) варианте Гудстейна, который уже оказал значительное идейное воздействие и на исследования, выходящие за рамки некоторых принципов этого варианта. [36]
Гильберта и Бернайса выводимы в его исчислении, а расшифровки всех правил вывода исчисления Гильберта и Бернайса являются допустимыми в его исчислении правилами вывода. В 1941 году Гудстейн представил в печать работу [6] ( опубликованную в 1945 году), в которой построено исчисление равенств, существенно от-личающееся по своему типу от исчисления Карри. Гудстейн доказал в этой работе ( ссылаясь на некоторые результаты Бернайса и Сколема), что его исчисление обладает всеми упомянутыми свойствами исчисления Карри. [37]
Весьма существенным для теории Гудстейна является Тот факт, что в определении вводимого им аналога понятия равномерно непрерывной функции примитивно рекурсивные вещественные числа не фигурируют в качестве подлежащих рассмотрению значений аргумента. Это не означает, что при построении теории введенных им функций необходимо избегать рассмотрения значений этих функций в примитивно рекурсивных точках - как уже было упомянуто, любое такое значение может быть построено в виде примитивно рекурсивного вещественного числа. Однако Гудстейн почему-то стремится избегать рассмотрения значений функций в примитивно рекурсивных ( даже в рациональных) точках. Эта тенденция лишает его возможности приблизить к формулировкам классического математического анализа, упростить, а в некоторых случаях и уточнить формулировки некоторых теорем, не выходя при этом за рамки допускаемого его подходом уровня логической сложности утверждений. Примером может служить теорема 2.4 из РА. [38]
Недоказуемость теоремы Гудстейна, понимаемая в этом смысле, вряд ли может помешать нам убедиться в ее фактической справедливости. Наши интуитивные представления позволяют нам расширить действие тех ограниченных приемов доказательства, которыми мы воспользовались ранее. В действительности сам Гудстейн доказал свою теорему, прибегнув к разновидности метода, который называется трансфинитной индукцией. В контексте нашего изложения этот метод сводится к систематизации интуитивных ощущений, которые возникают в процессе знакомства с причиной, по которой теорема Гудстейна и в самом деле верна. Эти ощущения могут родиться практически целиком за счет изучения некоторого числа частных случаев указанной теоремы. И тогда станет видно, как скромная незаметная операция ( б) безжалостно отщипывает по кусочку от огромной башни показателей до тех пор, пока она не начинает постепенно таять и полностью исчезает, - хотя бы на это ушло и невообразимо большое число шагов. [39]
Игюй характер имеет выдающийся вклад Брауэра и Вейля в формирование предпосылок конструктивного направления в математике. Многие их логические и математические идеи сыграли существенную роль при формировании более широких, но в то же время и менее отчетливых ( в логическом аспекте), чем у Сколема и Гуд-стейна, теорий конструктивной математики. Идеи Брауэра, Вейля, Сколема и Гудстейна плодотворно дополняют друг друга. [40]
Недоказуемость теоремы Гудстейна, понимаемая в этом смысле, вряд ли может помешать нам убедиться в ее фактической справедливости. Наши интуитивные представления позволяют нам расширить действие тех ограниченных приемов доказательства, которыми мы воспользовались ранее. В действительности сам Гудстейн доказал свою теорему, прибегнув к разновидности метода, который называется трансфинитной индукцией. В контексте нашего изложения этот метод сводится к систематизации интуитивных ощущений, которые возникают в процессе знакомства с причиной, по которой теорема Гудстейна и в самом деле верна. Эти ощущения могут родиться практически целиком за счет изучения некоторого числа частных случаев указанной теоремы. И тогда станет видно, как скромная незаметная операция ( б) безжалостно отщипывает по кусочку от огромной башни показателей до тех пор, пока она не начинает постепенно таять и полностью исчезает, - хотя бы на это ушло и невообразимо большое число шагов. [41]