Cтраница 3
В дальнейшем мы убедимся в том, что производная аналитической функции всегда является аналитической и, следовательно, непрерывной. Гурса и затем упрощено А. [31]
Вопрос о возможности неединственного продолжения действительных решений за характеристику является одним из основных вопросов теории уравнений с частными производными и не решен даже для аналитического случая. Здесь имеются только отдельные частные результаты. Например, Гурса давно решил [4] в положительном смысле вопрос о возможности неединственного продолжения в аналитическом случае для некратных характеристик и для некоторых весьма частных случаев кратных характеристик. [32]
Из точек 1 и 2 проведем характеристики в плоскости u, v, они будут направлены перпендикулярно к соответствующим характеристикам плоскости х, у. Так, например, характеристика Г-3 плоскости ы, v будет параллельна малой оси проведенного через точку / эллипса Буземана, соответствующего характеристике второго семейства. На рис. 5 соответствующий эллипс Буземана показан пунктиром. К этой элементарной операции сводятся задачи Коши и Гурса. [33]
Разложения по собственным функциям стали изучаться безотносительно к тому, что они возникли в области дифференциальных и интегральных уравнений. Наиболее честолюбивые начали штурм нелинейных интегральных уравнений. Вокруг Гильберта объединилась многочисленная международная школа молодых математиков, и интегральные уравнения вошли в моду не только в Германии, но и во Франции, где им уделяли внимание такие великие мастера, как Э, Пикар и Гурса, в Италии и по эту сторону Атлантики, Было написано много работ как хороших, так и посредственных. [34]
I-III) посвящена вырождающимся эллиптическим и гиперболическим уравнениям. I приводятся некоторые необходимые для дальнейшего сведения из теории гипергеометрических функций, теории интегродифференциальных операторов произвольного порядка, теории сингулярных интегральных уравнений в случае разомкнутого контура и др. В гл. II н III рассматриваются вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. Здесь изложена теория потенциала для простейшего вырождающегося эллиптического уравнения. Построена функция Грина для основных краевых задач. Для вырождающихся гиперболических уравнений выписаны в явном виде решения задач Коши, Коши - Гурса. [35]
Оыли неприемлемы с точки зрения формальной логики, - ничего иного и не могло быть При не формальных исходных положениях. Справедливость приведенных соображений Гегеля тем ие менее не продвигала анализ бесконечно малых ни на шаг вперед; для его плодотворного развития на определенном этапе стала необходимой конкретная формализация исходных построений. Однако, лишь в XIX веке, с накоплением достаточного фактического материала, нужная формализация была достигнута у Коши и Вейерштрасса. И тогда анализ бесконечно малых, освободившись от формальных противоречий, стал доступен гораздо более широкому кругу исследователей и его развитие пошло вперед с невиданной ранее быстротой и эффективностью. Главная заслуга Коши как раз и была в том, что он рассмотрел дифференциал функции не как ее приращение, а как главную линейную часть ее приращения; точная формулировка этого понятия была основана у Коши на понятии предела, которое им и было положено в основание всего исчисления бесконечно малых. На протяжении XIX века многими авторами, от Коши до Гурса, формировались различные идеи дифференциального исчисления функций нескольких переменных, включая теорию неявных функций, зависимых и независимых функций, якобианов ( последние были введены К - Якоб и в 1833 г. первоначально для получения общего правила замены переменных в кратных интегралах, см. гл. Оно открыло путь для распространения дифференциального исчисления на функции, определенные в бесконечномерных пространствах. [36]