Cтраница 3
Говорят, что отделимое локально выпуклое пространство Е обладает свойством ( DP) ( свойством Данфорда - Петтиса) [ соотв. SDP) ( строгим свойством Данфорда - Петтиса) ], если Е удовлетворяет одному из эквивалентных условий ( DPi) - ( DP3) [ соотв. [31]
Теорема 8.2 о представлении и теорема 6.1 о существовании максимальных идеалов и фильтров исследовались во многих работах. Ауман [2], Дилуорс [1], Данфорд и Шварц [1] ( стр. [32]
Если Е и F - пространства Фреше, то наши предположения о функциях / и g u f сводятся просто к их интегрируемости и к соотношению f ( T) adorn и. В этой форме теорема приведена у Данфорда и Шварца [ 1, стр. [33]
Располагая теоремой 9.4.7, относительно легко получить условия, которым должна удовлетворять функция / для того, чтобы соответствующее отображение и: L1 - F было компактно. Этот вопрос тоже рассмотрен в работе Данфорда и Пет-тиса [ 1, теор. [34]
Важным инструментом во всех этих исследованиях служит понятие сильных и слабых типов отображений ( подмножеств) пространства LP в L. Рисса - Торина для сильных типов преобразований ( Данфорд и Шварц [ 1, стр. [35]
Этой задаче посвящена обширная литература. Хороший обзор относящихся сюда работ имеется в книге Данфорда и Шварца. Наш подход отличается от общепринятого лишь систематическим применением методов теории ветвления, развитых для нелинейных задач. Это позволяет не только довольно просто получить известные результаты, но и в ряде случаев установить новые. [36]
В частности, если X и Е - нормированные пространства, то ( при сохранении других условий) отображение uv компактно, если каждое из отображений и и v слабо компактно. Относительно случая, когда X E F Ll, см. книгу Данфорда и Шварца [ 1, стр. [37]
Основной результат этого параграфа - теорема об интегральном представлении некоторых линейных отображений пространства Ll Ll ( T, JLI) в пространство Е, сопряженное к локально выпуклому пространству Е, на которое наложены определенные ограничения. Для произвольного а-конечного пространства ( Т, л) доказательство приводится в книге Данфорда и Шварца [ 1, стр. [38]
Из условия непрерывности траекторий легко заключить, что функция ф: / - В измерима. Но тогда, как это хорошо известно из теории полугрупп линейных операторов ( см. Данфорд, Шварц [ 40, с. Положив теперь p ( z) p ( i, х2), получим то, что требовалось. [39]
Ниже ( в § 9.13) будут рассмотрены некоторые из многочисленных результатов такого типа. Для более полного и детального ознакомления с этими вопросами читатель может обратиться к книге Данфорда и Шварца [ 1, стр. Здесь мы ограничимся одной теоремой для случая гильбертова пространства, доказательство которой опирается только на принцип проектирования. [40]
Пространства С ( Q) и L оо ( S, ц) обладают свойством Данфорда - Петтиса. Следует заметить, что рефлексивное пространство со свойством Данфорда - Петтиса является конечномерным. [41]
В качестве приложения теоремы 9.4.4 мы хотим привести доказательство одной важной теоремы представления, принадлежащей Данфорду и Пет тису [ 1, теор. Излагаемое здесь доказательство в значительной мере совпадает с тем, которое набросано Бур баки [ 9, гл. [42]
Приводимые результаты о пространстве М ( Т) аналогичны теореме 4.21.2. Они принадлежат Дьедонне [14] и Г роте н-дику [ 4, стр. Об аналогичных работах, относящихся к пространствам конечно аддитивных и счетно аддитивных функций множества, см. Данфорд и Шварц [ 1, стр. [43]
Построение теории интегрирования в случае банаховых пространств и исследование пространств LE было начато Бохне-ром [3] и продолжено многими авторами, например Данфор-дом и Петтисом [1], Бохнером и Тэйлором [ 11, Филлипсом [2], Петтисом [2], Биркгофом [4], Дьедонне [8 - 11], причем мы упоминаем лишь некоторых. Большинство описаний интеграла Бохнера ( см, например, X и л л е [1], Данфорд и Шварц [1]) отличается от принятого нами. [44]
Обе формы эргодической теоремы в дальнейшем были усовершенствованы, а их доказательства упрощены. Краткий обзор этих вопросов можно найти у Халмоша [5] ( см. также приведенную там литературу), более подробное изложение у Данфорда и Шварца [ 1, гл. [45]