Cтраница 4
Большинство результатов § 3 принадлежит Бейду [3, 4], хотя частные случаи некоторых из этих теорем были доказаны раньше. Например, если В - ограниченная булева алгебра проекторов в рефлексивном пространстве, то полнота сильного замыкания В вытекает из теоремы Дэя [10] - факт, явно сформулированный Данфордом [2] ( см. также Бейд [ 3; стр. [46]
Скажем несколько слов о положительных результатах. Фогель [2] заметил, что в любом пространстве сумма ( или произведение) двух коммутирующих спектральных операторов спектральна тогда и только тогда, когда сумма ( или произведение) их скалярных частей является спектральным оператором. Кроме того, Данфорд [ 18 и Фогель [1] доказали, что если Ж слабо полно, то сумма и произведение спектральных операторов снова являются спектральными операторами, если булева алгебра, порожденная их спектральными мерами, ограничена. Маккарти [2,1] показал, что если один из операторов имеет конечную кратность, то сумма спектральных операторов является спектральным оператором; более того, для некоторых сепарабельных рефлексивных пространств это условие необходимо. Позже Маккарти [2,11] доказал, что если g и вр - коммутирующие ограниченные булевы алгебры проекторов в Lp, 1 р С, то булева алгебра, порожденная g и jF, ограничена. Из этого замечательного результата вытекает, что сумма и произведение коммутирующих спектральных операторов в Lp, 1 р оо, являются спектральными операторами; никаких условий на кратность операторов или сепарабельность пространства здесь не налагается. [47]
Пространства С ( Q) и L оо ( S, ц) обладают свойством Данфорда - Петтиса. Следует заметить, что рефлексивное пространство со свойством Данфорда - Петтиса является конечномерным. [48]
Спектральная теория более общих линейных отображений в нашей книге не затрагивается. Этим вопросам посвящена обширная литература; см., например, Данфорд и Шварц [ 1, гл. [49]