Cтраница 3
Внутри земной сферы он поместил еще два многогранника, разделенные сферами, чтобы получить таким образом орбиты Венеры Меркурия. [31]
На левом рисунке первого из них даются изображения наклонной призмы и ее сечения плоскостью 04252С2), перпендикулярной боковому ребру. Это сечение делит наклонную призму на два многогранника. Один из них выделен снизу. На правом рисунке изображен этот же ( нижний) многогранник и его образ при параллельном переносе, который переводит нижнее основание данной призмы в ее верхнее основание. [32]
Сечение построено; оно разбило призму на два многогранника, отношение объемов которых нам надо найти. [33]
В связи с утверждением Евклида в последней книге его Начал, по инициативе старого Лагранжа, молодой Коши доказал в 1813 г. следующую теорему: Если, два многогранника имеют попарно конгруэнтны и в одинаковом порядке прилегающие грани, то эти многогранники можно совместить движением или движением и отражением ( A. L. Cauchy, Werke, 1, стр. [34]
Оказалось, что плоскость сечения пересекает пирамиду по пятиугольнику LRFPN. Эта плоскость делит пирамиду SABCD на два многогранника, причем такие, что вычислить их объемы сразу же представляется возможным. Для того чтобы вычислить объем хотя бы одного из этих многогранников, нужно сделать дополнительные построения и рассмотреть несколько пирамид. [35]
Положимъ теперь, что мы имйемъ два многогранника, которые составлены изъ соотвЬтственно конгруэшныхъ многогранниковъ. Выражаясь нагляднее, можно сказать, что второй много-гранникъ составленъ изъ техъ же составляющихъ многогранниковъ, что и первый, но только иначе расположенныхъ. Для большей простоты и наглядности мы будемъ называть наши два исход-ныхъ многогранника большими многогранниками, а т много - 1ранники, изъ которыхъ они составлены, малыми многогранниками. [36]
В качестве посредников применяют плоскости или шаровые поверхности. Задачи решаются в такой последовательности: проводят несколько удачно выбранных посредников. Найдя достаточное количество точек, соединяют их плавной кривой. Если пересекаются два многогранника, то при помощи посредников определяют точки пересечения ребер одного многогранника с гранями второго. Полученные точки соединяют между собой в определенной последовательности. [37]
Доказательство этой теоремы содержится в решении предыдущей задачи. Действительно, соответствующие друг другу многогранные углы обоих многогранников имеют соответственно равные плоские углы. Поэтому к двугранным углам многогранников применима вся теория, развитая в решении предыдущей задачи. Если бы нашлись не равные друг другу соответственные двугранные углы, то ребра этих углов образовали бы сеть на поверхности многогранников. Применив к сети на поверхности одного из многогранников теорему Эйлера, мы пришли бы к противоречию. Этим завершается доказательство нашей теоремы. Все это подробно проделано в предыдущем решении. Равенство таких многогранников очевидно, так как два многогранника с соответственно равными гранями и с соответственно равными двугранными углами равны. [38]