Cтраница 3
Хт, а остальные равны нулю. Два подпространства, одно из которых образовано каким-нибудь п из векторов ех... [31]
В конечном счете мы определим понятие трансверсальности для многообразий, но сначала займемся векторными пространствами. Два подпространства U и V в R называются трансверсальными, если вместе они порождают все пространство. Обратно, при выполнении этого неравенства U и V трансверсальны тогда и только тогда, когда они пересекаются по подпространству наинизшей возможной размерности. [32]
Если векторное пространство допускает разложение на два подпространства, то такую операцию можно производить и в общем случае. [33]
Ясно, что наименьшим подпространством является подпространство, состоящее лишь из нулевого вектора. Наибольшим подпространством является пространство / С Эти два подпространства называются тривиальными, остальные - нетривиальными. Очевидно далее, что любое подпространство вместе с каждой парой своих элементов х, у содержит и все их линейные комбинации ах - f - fiy. [34]
Так как при / 31 кратность собственных значений i и ( - г) возрастает, то случаи / 3 1 и / 3; 1 следует рассматривать отдельно. Анализ системы (4.5.5) показывает, что пространство ее решений V распадается на два подпространства Vi и V2 одинаковой размерности ( dimT dimFj 4), таких, что любой элемент подпространства Vi определяет решение системы (4.5.5), для которого прогиб w есть нечетная функция координаты р, а функции и, л - четные. Любой элемент подпространства V2 определяет решение с противоположными свойствами четности. [35]
Согласно [1] под усечением понимается переход на другие правила принятия решения в связи с необходимостью использования при оценке результатов испытаний вместо трех возможных решений - соответствует, не соответствует, продолжать испытания - только первых двух. Поэтому выборочное пространство переменной X на этапе усечения разбивается не на три, а на два подпространства, т.е. критическая область и область принятия решения становятся взамнодополнительны-ми. [36]
Итак, - мы получаем следующее предложение: Теорема 14.10. Пусть А и В - - два подпространства п-мер-ного векторного пространства R, пересечение которых является тривиальным подпространством. [37]
Если 91 - подпространство в 9i, то в нем можно простроить унитарно ортогональную систему координат и дополнить ее базисными векторами до полной унитарно ортогональной системы координат всего пространства 9i: каждое подпространство унитарного пространства унитарно само по себе. Понятия инвариантности и приведения сохраняют свой прежний смысл, но мы допускаем только такие разложения пространства 9t на два подпространства 9ti 9ta, в которых 9.i и 9t2 перпендикулярны. [38]
Если Я0 - изолированное минимально вырожденное собственное значение оператора А, то для достаточно малых е 0 пространство 7V [ F ( К0 е) - F ( о - 8) 1 Н представляет собой отвечающее числу К0 собственное подпространство, которое по предположению D. Если существуют два подпространства с указанными выше свойствами, то размерность пространства N должна быть самое меньшее 2d dim NI 0 N2l что приводит к противоречию. [39]
При необходимости уточнить молекулярную картину используют также - пространство - пространство всех динамических переменных одной частицы. Для атома классическое - пространство шестимерно. В свою очередь его делят па два подпространства и определяют - подпространство координат и ц р-подпространство импульсов. [40]
Этим заканчивается первый этап процесса проецирования. Вторым этапом является пересчет координат точек изображения в систему координат т ], , выбранную на плоскости я и совпадающую с системой отнесения планшета графопостроителя. При реализации второго этапа следует учитывать тот факт, что плоскость я делит пространство на два подпространства. В этом случае проецирование оригинала можно проводить из обоих подпространств, что делает алгоритм более универсальным. Возможна также упрощенная модель, в которой проецирование ведется из одного из подпространств. Эта модель пригодна для большинства практических задач. [41]
Вектор, косоортогональный всему пространству, - нулевой. В этом состоит определение невырожденности кососкалярного произведения. Косоортогональное дополнение прямой - гиперплоскость, содержащая эту прямую. Обратно, косоортогональное дополнение гиперплоскости - прямая в ней. Вообще косоортогональное дополнение подпространства имеет дополнит, размерность. Два подпространства одинаковой размерности переводятся друг в друга преобразованием из С. В частности, любая прямая ( гиперплоскость) переводится в любую другую. [42]
Теорема (11.7.1) весьма удовлетворительна для локализации изолированных собственных чисел. Но она оказывается бесполезной, когда группа очень близких а аппроксимируется группой величин 0 с перекрывающимися границами интервалов. Теорема (11.7.1) дает основания полагать ( вычислительный опыт подтверждает это), что векторы Ритца для таких близких 0 иногда являются плохими аппроксимациями собственных векторов. Для конкретности предположим, что у у2, у3 - три таких вектора. Тогда оказывается, что если группа близких значений Ритца 0 хорошо отделена от всех а, не связанных с этими 0, то span ( у у2, у3) намного лучше аппроксимирует соответствующее инвариантное подпространство, скажем % а, чем любой из векторов у-индивидуальный собственный вектор. Другими словами, рассогласование между базисами не мешает тому, чтобы два подпространства были близки. Вот почему нам нужна мера близости двух подпространств. [43]