Cтраница 3
Несмотря на хорошие свойства точности и устойчивости, использование неявных методов типа Рунге - Кутта является ограниченным. Причина этого заключается в больших вычислительных затратах на шаг интегрирования. Из ( 5) видно, что для вычисления kni требуется организовать итерационный процесс. Метод простой итерации является малоэффективным при решении жестких задач, так как он приводит фактически к такому же ограничению на размер шага, что и явные методы. Поэтому возникает необходимость использования метода Ньютона - Рафсона или какой-либо его модификации. Некоторого сокращения вычислительных затрат достигают за счет L [ / - разложения итерационной матрицы, а также за счет использования одной матрицы на нескольких шагах интегрирования. Это оправдано тем, что итерационная матрица не влияет на порядок точности численной схемы и необходимость в ее исправлении возникает только при значительном замедлении сходимости итерационного процесса. [31]
Преимущества и недостатки метода Ньютона применительно к задаче оптимизации рассмотрены в работе [ 11, с. В случае расчета стационарных режимов ХТС аналитическое определение матрицы Якоби обычно требует очень трудоемкой подготовительной работы. Конечно, положение изменится, когда будут созданы системы программ моделирования ХТС, использующие математический аппарат сопряженного процесса [ 1, с. Однако, поскольку таких программ, полностью автоматизирующих аналитическое определение матрицы Якоби, пока еще нет, метод Ньютона с аналитическим вычислением производных применяется очень редко. В связи с этим ставится задача использования метода Ньютона с некоторой аппроксимацией матрицы Якоби. Наиболее простым способом получения аппроксимации матрицы Якоби является разностный. [32]
Здесь каждое уравнение соответствует одному из контуров сети. Остальные расходы, принадлежащие другим контурам, а s - м уравнении приравниваются нулю. Данная система k уравнений решается совместно с ( т - 1) уравнений баланса для узлов. Для решения системы нелинейных уравнений разработан ряд численных методов. При использовании метода Ньютона предварительно принимаются некоторые значения величин Q, ( начальное приближение), обычно в качестве начального приближения принимаются те расходы, которые были назначены при проектировании сети. Эти предварительные значения расходов принимаются с соблюдением баланса расходов в узлах. [33]